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Niveau terminale
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Fonction exponentielle

Posté par
spartan974
22-04-20 à 17:58

Bonjour à tous je suis en terminale et je suis bloqué dans cet exercice :

On appelle f la fonction définie sur [0;+[ par f(x) =\begin{cases} & \texte \frac{e^{-t}-1}{\sqrt{x}} si\, x=/ 0 & \texte 0\, si\, x=\, 0 \end{cases}

1) Montrer que \lim_{t\rightarrow 0}\, \frac{e^{-t}-1}{t} =\, -1
2) La fonction f est elle continue en 0 ? Justifier.
3) Etudier le signe de f(x) sur [0;+[
4) Calculer la limite de f en +. En donner une interprétation graphique.
5) a) Etudier la dérivabilité de f en 0.
B) Montrer que, pour tout x >0, f'(x) =\frac{u(x)}{2x\sqrt{x}} où u est la fonction définie sur [0;+[. par u(x) = 1-e^{-x}-2xe^{-x}.
6) Justifier qu'il existe un réel > 1 tel que u() = 0. En déduire le signe de u sur [0;+[.
7) Etudier les variations de f sur [0;+[ et montrer que f() = -\frac{2\sqrt{\alpha}}{1+2\alpha }.

Ce que j'ai fais pour l'instant c'est :

1) \lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{-t}-1}{t}\, \Leftrightarrow \lim_{t\rightarrow +\infty }e^{-t}= 0. \lim_{t\rightarrow 0}(-1) =\, -1.\, \lim_{t\rightarrow 0}t=0.Donc\, par\, quotient\,\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{-t}-1}{t}= -1.

2)Comme\,f(0),\,est\,définie\,en\,0,\,\lim_{x\rightarrow 0}(e^{*x}-1)=1-1=0 \lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0.Donc\,la\,fonction\,f\,est\,bien\,continue\,en\,0..


Merci de bien vouloir m'aider.

Posté par
fil51
re : Fonction exponentielle 22-04-20 à 18:05

Bonjour,

pour la 1) penser au nombre dérivé de la fonction définie par  f(x)= e^(-x), en zéro.

Posté par
fil51
re : Fonction exponentielle 22-04-20 à 18:10

dans 1) ta première équivalence est fausse

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 09:20

spartan974, bonjour,

Comme te l'a dit fil51, tes réponses sont exactes, mais tes explications ne le sont absolument pas...tu as de très curieuses façons de lever les indéterminations !

J'explicite un peu

Soit g(t)=e^{-t} donc  g(0)=1

En dérivant g'(t)=-e^{-t} donc  g'(0)=-1

\lim_{t\to 0}\dfrac{e^{-t}-1}{t}=\lim_{t\to 0}\dfrac{g(t)-g(0)}{t-0}=..............

(ensuite, relis la piste de fil51 )

Posté par
spartan974
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 11:28

Bonjour,
Donc si j'ai compris cela donne \lim_{t\rightarrow 0}\frac{g(t)-g(0)}{t-0}= g'(0)=g(0) ?

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 12:12

spartan974,

Revois la définition de nombre dérivé.

La limite cherchée est g'(0)

(g(0) n'a rien à voir avec la limite cherchée)

Posté par
spartan974
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 15:08

Voici ma réponse pour la question 1) :
On sait que \lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1
Par conséquent \lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{-t}-1}{-t}=1
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1\Leftrightarrow \lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{-t}-1}{-t}=\frac{1}{1}\Leftrightarrow \lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{-t}-1}{-t}\times \frac{1}{-1}=-1\Leftrightarrow \lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{-t}-1}{t}=-1.

Concernant la question 2 qu'en pensez vous?

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 15:23

spartan974,

Pour la question 2, il s'agit forcément de la continuité à droite en 0 vu que f est définie sur [0,+\infty[

tu dois chercher
\displaystyle \lim _{x\to 0^+f(x)

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 15:27

Désolée, j'ai validé trop vite...

Tu dois chercher \lim_{x\to 0^+}f(x)

Si tu trouves f(0) qui vaut 0, c'est qu'il y a continuité , sinon, il n'y a pas continuité.

Pour chercher cette limite, tu utilises, bien sûr,  la limite démontrée à la question 1)

Posté par
spartan974
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 15:54

mtschoon,
Donc si j'ai bien compris, il faut que je reprennes la limite démontré précédemment puis il faut que je fasse la limite de f(x) ?

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 16:02

spartan974

Pense que

f(x)=\biggl(\dfrac{e^{-x}-1}{x}\biggl)\times \sqrt x

Posté par
spartan974
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 16:35

mtschoon,

Donc si j'ai bien compris, ca donne :
f(x)=\left(\frac{e^{-x}-1}{x} \right)\times \sqrt{x}
\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{e^{-x}-1}{x} \right)\times \sqrt{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{x}=-1.\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0. Donc par facteur, \lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{e^{-x}-1}{x} \right)\times \sqrt{x} =0

f(0)= \frac{e^{-0}-1}{\sqrt{0}} =0. Donc la fonction f est bien continue en 0.

Est ce que c'est ca ?

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 16:57

C'est bon, en précisant bien que 0=f(0)

Posté par
alb12
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 17:42

salut,

spartan974 @ 23-04-2020 à 16:35

mtschoon,

Donc si j'ai bien compris, ca donne :
f(x)=\left(\frac{e^{-x}-1}{x} \right)\times \sqrt{x}
\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{e^{-x}-1}{x} \right)\times \sqrt{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{x}=-1.\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0. Donc par facteur, \lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{e^{-x}-1}{x} \right)\times \sqrt{x} =0

f(0)= \frac{e^{-0}-1}{\sqrt{0}} =0. Donc la fonction f est bien continue en 0.

Est ce que c'est ca ?

festival d'horreurs

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 18:08

Je t'ai déjà répondu....

Passe à la question 3)

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 18:13

Mais, que calcules-tu pour f(0) ? ? ?

f(0)=0 par hypothèse et l'autre expression est valable exclusivement pour x > 0

Tu ne peux pas remplacer x par 0 dans cette expression ! ! !

Tu ne trouves pas que tu as divisé par \sqrt 0 qui vaut 0 ! ! !

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 23-04-20 à 18:19

Ton calcul de limite est juste mais, comme déjà indiqué, ton calcul de f(0) relève du  "festival de l'horreur"...

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 24-04-20 à 09:52

spartan974, demande si tu ne comprends pas ton erreur dans la justification de f(0)=0

Posté par
alb12
re : Fonction exponentielle 24-04-20 à 10:49

correction assistee par Xcas pour Firefox
A ne consulter qu'apres avoir cherche.

Posté par
spartan974
re : Fonction exponentielle 24-04-20 à 14:35

Bonjour,

Pour la question 3)  pouvez vous m'éclairer?

Merci.

Posté par
spartan974
re : Fonction exponentielle 24-04-20 à 14:53

Voici ce que j'ai fais pour la question 5) :
\frac{e^{-0}-1}{\sqrt{0}} = \frac{0}{0}= 0. Comme la fonction est continue en 0 alors la dérivée de f en 0 vaut 0.

Posté par
alb12
re : Fonction exponentielle 24-04-20 à 15:09

3/ resous e^-x-1<=0

Posté par
alb12
re : Fonction exponentielle 24-04-20 à 15:10

5/a/ une division par 0 n'a aucun sens,
on efface tout et on recommence
passe par le taux d'accroissement

Posté par
spartan974
re : Fonction exponentielle 24-04-20 à 16:48

Donc si j'ai bien compris il faut que je fasse \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{\sqrt{x}-0}, mais je n'arrive pas a l'appliquer avec cette fonction.

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 24-04-20 à 18:02

Si tu parles du 5)a)

Tu cherches

\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)}{x}

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 24-04-20 à 19:53

Pour lever l'indétermination, pense à utiliser la limite trouvée à la question 1)

Posté par
mtschoon
re : Fonction exponentielle 25-04-20 à 09:46

\dfrac{f(x)}{x}=\biggl(\dfrac{e^{-x}-1}{x}\biggl)\times \biggl(\dfrac{1}{\sqrt x}\biggl)

Posté par
spartan974
re : Fonction exponentielle 27-04-20 à 17:21

D'accord, pour la question b) voici ce que j'ai fais pour l'instant :

f'(x)=\frac{(-e^{-x})(\sqrt{x})-(e^{-x}-1)(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{x}\Leftrightarrow \frac{(-e^{-x})(\sqrt{x})-(e^{-x}-1)(\frac{1}{\sqrt{x}\times \sqrt{x}})}{\sqrt{x}\times \sqrt{x}}

Est ce que c'est bon et pourrais je avoir de l'aide parce qu'a partir de là je suis bloqué.

Posté par
alb12
re : Fonction exponentielle 27-04-20 à 17:26

non 2*sqrt(x) n'est pas egal à sqrt(x)*sqrt(x)
un peu plus haut j'ai mis un lien qu'il n'est pas interdit de consulter.

Posté par
spartan974
re : Fonction exponentielle 27-04-20 à 17:59

ok c'est bon j'ai trouver pour la 5)b) merci !!



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