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fonction exponentielle

Posté par
louis222 24-04-23 à 13:37

Bonjour à tous,

PARTIE A :
On considère la fonction f définie sur R, par f(x) = e^x+x+1. 1)

1. Étudier le sens de variation f  (j'ai trouvé la fonction est croissante)

2. On admet que l'équation f(x)=0 admet une solution et une seule, alpha,
     Déterminer un encadrement d'amplitude 10-^2 de alpha. en regardant la méthode que j'ai écrit  3) en déduire le signe de f(x) sur R (-1,28<alpha<-1,27)

3. En déduire le signe de f(x) sur R (je suis bloqué ici j'ai fait un tableau de variation mais cela me semble incorrect)

Je vous remercie

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 13:41

Excusez moi, j'ai un peu mélangé les questions, voici ces questions dans l'ordre

PARTIE A :
On considère la fonction f définie sur R, par f(x) = e^x+x+1.

1. Étudier le sens de variation f  (j'ai trouvé la fonction est croissante)

2. On admet que l'équation f(x)=0 admet une solution et une seule, alpha,
     Déterminer un encadrement d'amplitude 10-^2 de alpha. (je l'ai fait avec la calculatrice et j'ai trouvé -1,28<alpha<-1,27)

3. En déduire le signe de f(x) sur R (je suis bloqué ici j'ai fait un tableau de variation mais cela me semble incorrect)

Je vous remercie

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 13:56

Bonjour

Il fallait joindre votre tableau.
Que pouvez-vous dire de f(x) si x<\alpha  ?

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 14:03

x        -infini.           -1,28.               -1,27         +infini

f.                         décroissante.              croissante

f(x)                 -                           -                         +

donc sur -infini;-1,27, la fonction est négative
et sur -1,27:+infini, la fonction est positive.

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 14:05

si x<alpha alors f(x)<0

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 14:19

Non pour le tableau,  il ne faut qu'une flèche allant de -\infty à +\infty

Sur la flèche, vous pouvez mettre un 0 avec sur la barre des valeurs \alpha.

Vous avez bien dit que la fonction était strictement croissante, car la dérivée est strictement positive.

Ensuite, vous pouvez mettre une ligne concernant cette fois, f
un signe - avant \alpha, 0 pour \alpha et + après \alpha

  Il n'y a qu'une valeur pour laquelle f(x)=0, c'est \alpha

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 14:25

Traduction en image de ce que je disais  à part que la flèche est unique.  Ce que je ne peux faire avec le logiciel

fonction exponentielle

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 14:34

donc :

x             -infini.                 alpha.               +infini

f'(x)                                        croissante

f(x)                 -                                          +


donc sur -infini;-1,27, la fonction est négative f(x)<0
            sur -1,27:+infini, la fonction est positive f(x)>0

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 14:40

Pas de valeurs approchées, il faut garder \alpha

Citation :
donc sur ]-\infty ; \alpha[, la fonction est strictement négative f(x)<0
            sur ]\alpha  ; +\infty[, la fonction est strictement positive f(x)>0

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 14:42

pour être sure de comprendre, le signe avant alpha est négatif car x = -1,28 = -0,002 qui est négatif ?

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 14:51

Oui avant \alpha , f(x) est strictement négatif.

Comme vous le montrez, si on prend -1,28 on n'a pas 0
Il existe donc des valeurs pour lesquelles f(x) est encore
strictement négatif.

C'est pourquoi, on ne peut prendre une valeur approchée.

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 15:03

Je comprends mieux ce qu'il faut faire

Je vous remercie pour votre aide.

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 15:09

De rien

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 15:11

Si vous avez besoin d'aide pour la partie B, il ne faut pas hésiter.

N'ouvrez pas un autre fil puisqu'il s'agit du même problème.

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 17:27

PARTIE B :
On considère la fonction f définie sur R par f(x)= (xe^x)/(e^x+1) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Justifier que la fonction f est bien dérivable sur R (j'ai dérivé la fonction f =u/v et v = e^x+1=e^x mais pour le u je sais pas ?  cela semble facile mais je n'arrive pas à trouver )

2) a. Montrer que, pour tout x appartient à R, on a f'(x) = (e^x f(x))/((e^x+1)^2) (la fonction n'est pas nommé f mais pun autre mais je ne sais pas comment le mettre ici donc j'ai remplacé par f)
      b. Étudier les variations de la fonction f sur R

3) Montrer que f(alpha) = alpha + 1 et en déduire un encadrement de f(aplha) à 10^-2

4) Soit T l tangente à (C) au point d'abscisse 0. Donner une équation de T.

PS :

Je vous remercie.

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 17:39

f=\dfrac{u}{v} avec u(x)=x\text{e}^x et v(x)=\text{e}^x+1

u = ab\  $où  $ \ a(x)=x\   $et  $ \ b(x) =\text{e}^x

u'=a'b+ab'  Calculez

v(x)= \text{e}^x+1 \quad v'(x)= \text{e}^x

Ensuite f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 18:03

Merci beaucoup.
Pour montrer que la fonction est dérivable il faut que le dénominateur soit positif ?

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 18:15

Non, cela n'a rien à voir
f dérivable sur \R comme quotient, produit de fonctions dérivables sur \R
il faut cependant préciser que la fonction est définie sur tout l'ensemble de définition

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 19:47

hekla @ 24-04-2023 à 17:39



u'=a'b+ab'  Calculez

v(x)= \text{e}^x+1 \quad v'(x)= \text{e}^x



cela veut dire : u'(x) = x'e^x+x(ex^x') = ?

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 24-04-23 à 19:51

je n'ai toujours pas compris ce qu'il faut faire pour justifier que la fonction est dérivable sur R

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-04-23 à 20:03

Oui, mais la dérivée de la fonction x\mapsto x est 1.

u'(x)=1\times\text{e}^x+x\text{e}^x

Rien,  car le produit de 2 fonctions dérivables sur I est dérivable sur I

La fonction x\mapsto \text{e}^x+1  n'est jamais nulle sur \R.

Le quotient de deux fonctions dérivables sur I  est dérivable sur I
f est dérivable sur I   $Ici $ I=\R

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 12:01

(1*e^x+xe^x-xe^x*e^x)/((e^x+1)^2)

e^x est strictement positif et la fonction exponentielle est strictement positif donc le dénominateur e^x+1 est non nul. C'est tout ?

Pour le 2
a. On doit obtenir la fonction (xe^x)/(e^x + 1) ?

b. On commence par étudier le signe puis on fait u tableau de variation et on calcule l'image ?

3) il faut montrer que f(alpha)-(aplha+1)=0 et il faut utiliser la calculatrice ?

4) utiliser l'équation de la tangente. Calculer l'image ?

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 12:41

1) Justifier que la fonction f est bien dérivable sur \R

(  Les fonctions x\mapsto \text{e}^x, \quad  x\mapsto x  sont dérivables sur \R) si vous voulez

Pour tout x\in \R,\quad \text{e}^x+1 \not=0

Il en résulte  f est dérivable sur \R comme produit et quotient de fonctions dérivables sur \R

Question 2  voir 17 : 39

f'(x)=\dfrac{(\text{e}^x+x\text{e}^x) (\text{e}^x+1)-(x\text{e}^x)\times \text{e}^x}{\left(\text{e}^x+1\right)^2}

à simplifier pour trouver :

f'(x)= \dfrac{\text{e}^x\times g(x)}{\left(\text{e}^x+1\right)^2}

signe : ne pas oublier la partie A
  puis variations

question 3 : Vous ne pouvez pas utiliser la calculatrice avec \alpha

Question 4  y=f'(0)x+f(0)

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 13:22

1. f'=u'v-uv'/v^2 = ((e^x+xe^x)(e^x+1)-(xe^x)*e^x)/((e^x+1)^2) = (e^2x+e^x+xe^x)/((e^x+1)^2). Or la fonction exponentielle est strictement positive sur R et les fonctions x-->e^x, x-->x sont dérivables. Donc e^x>0 et e^x+1>0 sont positives et donc la fonction est dérivable sur R.

2. a. à simplifier = la même chose que la 1 (e^2x+e^x+xe^x)/((e^x+1)^2). Dans la première partie la fonction f = e^x+x+1, cela ne correspond pas au résultat. OU je me suis trompé dans le calcul.

b. Je reprends le tableau de signe de la partie A puis je dois calculer l'image afin d'ajouter les variations ?

3. Il faut déja montrer que f(alpha)-(alpha+1)=0 Je ne comprends pas du tout

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 13:42

Pour le 2. Je n'arrive pas à factoriser pour obtenir la f'

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 13:50

Peu nous chaut que la fonction soit strictement positive ou strictement négative, il importe que le dénominateur soit non nul.

Dérivable par ce qu'elle est définie à partir de fonctions dérivables sur \R : Produit ou quotient.

f=\dfrac{u}{v} avec u(x)=x\text{e}^x et v(x)=\text{e}^x+1

u = ab\  $où  $ \ a(x)=x\   $et  $ \ b(x) =\text{e}^x

u'(x)= \text{e}^x+x\text{e}^x =  Calculez

v(x)= \text{e}^x+1 \quad v'(x)= \text{e}^x

  f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}

f'(x)=\dfrac{( \text{e}^x+x\text{e}^x)( \text{e}^x+1)-(x\text{e}^x)\text{e}^x}{\left(\text{e}^x+1\right)^2}

f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}+x\text{e}^{2x}+ \text{e}^x+x\text{e}^x-x\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x+1\right)^2}

f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}+x\text{e}^x+\text{e}^x}{\left(\text{e}^x+1\right)^2}

f'(x)=\dfrac{\text{e}^x\left(\text{e}^x+x+1\right)}{\left(\text{e}^x+1\right)^2}

f'(x)   est donc du signe de g(x)

f'(x)  <0 sur ]-\infty~;~\alpha[  etc

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 13:56

Il y a des incohérences dans votre texte. Il faut appeler g la fonction définie dans la partie A.

f(\alpha)=\dfrac{\alpha\times \text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha}+1}

or, on sait que \text{e}^{\alpha}+\alpha +1=0

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 14:25

Excusez-moi je ne comprends pas pour le signe.

Merci pour le 2 a.
Pour le b. Je reprends le signe de la fonction g de la partie A afin de faire le tableau de variation ?

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 14:44

Vous refaites les calculs et vous pourrez vérifier

f'(x)=\dfrac{\text{e}^x\left(\text{e}^x+x+1\right)}{\left(\text{e}^x+1\right)^2}

Au numérateur, on reconnaît la fonction g définie par x\mapsto \text{e}^x+x+1 ; Dans la partie A, on a étudié son signe, Cf. la dernière ligne du tableau.

Le dénominateur et \text{e}^x sont strictement positifs ; Le signe de f'(x) est bien celui de g(x).

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 14:57

Merci je comprends mieux.

Pour le b. J'ai fait : Pour étudier les variations de la fonction, on étudie le signe de f'(x)
F'(x) = (e^xg(x))/((e^x+1)^2). Or e^x>0 donc f'(x)>0 et donc la fonction f est strictement croissante sur R. Est ce correct

Pour le 3, on me dit de montrer que f(aplha)-(aplha+1)=0 je ne vois pas pas ce qu'il faut faire ?

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 15:14

On avait écrit, dernière ligne du tableau hier 14 : 25

signe de f g  

sur ]-\infty~;~\alpha [ un signe  -  donc négatif

et sur ]alpha ~;~+\infty[ un signe + donc positif

Par conséquent, on ne peut pas dire que pour tout  x, f'(x) >0

La fonction f n'est pas monotone sur \R

La courbe, pour que vous puissiez le constater.
fonction exponentielle

J'ai commencé à calculer f(\alpha)

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 15:28

Pour le 3, f(alpha)= (alpha*e^alpha)/(e^aplha+1) or g(x) = 0, d'où e^alpha+aplha+1=0 <=> alpha+1=e^aplha donc f(aplha) = aplha+1 je suis coincé ici

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 15:34

Pour la 2b. Étude de variations : sur -infini;alpha, la fonction est décroissante et sur alpha:+infini la fonction est décroissante ?

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 15:34

*croissante pardon

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 15:51

Tableau de variation
fonction exponentielle

f(\alpha)=\dfrac{\alpha\times \text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha}+1}

on sait que \text{e}^{\alpha}+\alpha +1=0

d'où \text{e}^{\alpha}=-\alpha-1

On remplace

f(\alpha)=\dfrac{\alpha\times (-\alpha-1)}{-\alpha-1+1}

On développe et on simplifie

f(\alpha)=\alpha +1

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 15:56

Je vois mais j'ai une question pour le 2b pourquoi aplha + 1 dans la ligne variation ?

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 16:07

Lorsque vous remplissez un tableau de variation, n'indiquez-vous pas les images des valeurs rencontrées ?

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 16:08

F(alpha)= (alpha(-alpha-1)/(-alpha-1+1) = -(-alpha-1)= alpha+1
Donc f(alpha) = alpha+1.
En déduire l'encadrement de f(alpha)

-1,28<alpha<-1,27, donc -2,28 <aplha+1<-2,27

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 16:10

Bien sûr,   mais il s'agit de :  alpha vous faites l'inversion l et p.

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 16:11

hekla

hekla @ 25-04-2023 à 16:07

Lorsque vous remplissez un tableau de variation, n'indiquez-vous pas les images des valeurs rencontrées ?


Si mais c'est avant la question 3 je vois oas pourquoi aplha + 1

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 16:12

hekla @ 25-04-2023 à 16:10

Bien sûr,   mais il s'agit de :  alpha vous faites l'inversion l et p.


Oui, c'est une erreur d'inattention mais est ce correct ?

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 16:13

On peut bien revenir pour compléter le tableau.  C'est un résumé donc on

peut revenir pour le compléter

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 16:17

J'ai écrit bien sûr
ensuite ce n'était qu'une simple remarque sur ce que vous écriviez

f(\alpha)=\dfrac{\cancel{\alpha\times} (-\alpha-1)}{-1\cancel{\alpha}\cancel{-1+1}}=\alpha +1

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 16:20

C'est bon j'ai bien compris mais pour la 3 l'encadrement de f(alpha) est ce suffisant ?

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 16:31

Que voulez-vous d'autre ?

On a montré à la question que  -1,28<\alpha <-1,27

en ajoutant 1 aux membres des inégalités

-1,28+1<\alpha+1 <-1,27+1

-0,28<\alpha <-0,27

-0,28<f(\alpha) <-0,27


Vous avez d'ailleurs bien fait de poser la question, je ne m'étais pas aperçu que vous aviez effectué \alpha -1

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 17:06

pour la dernière question, déterminer l'équation de T :

y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=f'(0)(x-0)+f(0)

f(0)=(0e^0)/(e^0+1)=1
f'(0)=(e^0g(0))/((e^0+1)^2)=1

donc y=1x+1 ou x+1

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 17:14

Revoir les calculs

0\times 1=0  on a donc f(0)=0

On pouvait le constater sur le graphique

f'(0)=\dfrac{1\times(1+0+1)}{(1+1)^2}\not= 1

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 17:19

Ah oui j'ai oublié que e^0=1 merci.

J'ai refait les calculs. y=0x+1/2<=>y=1/2

Posté par
heklare : fonction exponentielle 25-04-23 à 17:34

Maintenant, on est bien d'accord

f(0)=0 \qquad f'(0)=\dfrac{1}{2}

Rappel l'équation de la tangente en a à la courbe représentative de f est :

y=f'(a)(x-a)+f(a) soit ici y=f'(0) x+f(0)

Des erreurs dans les reports.

Posté par
louis222re : fonction exponentielle 25-04-23 à 17:47

f(0)=0.     f'(0)=1/2
y=f'(0)x+f(0) donc 0x+1/2 <=> y=1/2

Merci beaucoup pour votre aide.

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