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Niveau terminale
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Fonction exponentielle de base a

Posté par
Mathes1
29-03-21 à 20:58

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
2-On considère la fonction f définie sur ]0;+[ par :
f(x)=2x+26/x
a-Calculer f '(x)
puis montrer que f
est strictement décroissante sur
] 0;6[et strictement
croissante sur
[6;+[
b-En déduire que l'équation
f ( x)=12
admet une solution unique sur
]0;+[
que l'on déterminera.
a) f '(x)=ln (2) 2^{x} -\dfrac{6ln (2)2^{\dfrac{6}{x}}}{x²}
Mais je ne comprends pas pour la monotonie puisque la fonction est strictement croissante sur
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
LeHibou
re : Fonction exponentielle de base a 29-03-21 à 22:34

Bonsoir,

Citation :
Mais je ne comprends pas pour la monotonie puisque la fonction est strictement croissante sur


Précisément non, la fonction est la somme d'un premier terme croissant et d'un second terme décroissant. Tu ne peux donc rien affirmer à priori.
D'ailleurs la dérivée est une différence de deux termes positifs, tu ne sais donc rien de son signe.
Une piste de travail :
- calcule f'(6)      (si tout se passe bien, tu dois trouver 0)
- calcule f''(x)      (si tout se passe bien tu dois trouver f''> 0)
- conclus pour le signe de f'
- conclus pour les variations de f
Il y a pas mal de travail, mais tu es en Terminale, tu remontes tes manches et tu y vas

Posté par
LeHibou
re : Fonction exponentielle de base a 29-03-21 à 23:13

Ce qui est très étrange, c'est que l'équation f(x) = 12 a en fait 2 solutions facilement vérifiables qui sont x = 2 et x = 3.
De là à suspecter une erreur d'énoncé, ou une erreur dans la transcription de l'énoncé, il n'y a qu'un pas, vite franchi...
Ou bien sûr une erreur de ma part, toujours possible

Posté par
Mathes1
re : Fonction exponentielle de base a 30-03-21 à 20:24

Bonjour
D'accord je vous remercie énormément
•f'(\sqrt 6)=0
• f ''(x)==ln(2)²2^{x}+\dfrac{36ln(2)²*2^{6/x}+6ln(2)2^{\dfrac{6}{x}+1}x}{x^{4}}
D'où  f''> 0
J'ai pas bien compris
Est ce que c'est possible de calculer l'image d'un intervalle dans la fonction f ' pour déterminer le signe de cette fonction sur l'intervalle considérer merci beaucoup

Posté par
Mathes1
re : Fonction exponentielle de base a 30-03-21 à 21:16

Je ne comprends vraiment pas comment faire
Surtout les méthodes classiques ne fonctionne pas ( résoudre l'équation
f '(x)=0  ou f ' (x)>0 pour savoir le signe )
Merci de votre intérêt !

Posté par
LeHibou
re : Fonction exponentielle de base a 30-03-21 à 21:31

Vous n'avez pas besoin de résoudre l"équation f'(x) = 0 :
Vous avez vérifié que f'(6) = 0
Vous avez montré que f"(x) > 0
Vous en déduisez que f'(x) est strictement croissante, et que 6 est l'unique solution de l'équation f'(x) = 0
(c'est le raisonnement habituellement fait entre f et f', mais ici vous l'appliquez à f' et f")
Vous en déduisez le signe de f' sur chaque intervalle ]0 ; 6[ et ]6 ; +[
ous en déduisez le sens de variation de f sur chaque intervalle ]0 ; 6[ et ]6 ; +[

Posté par
Mathes1
re : Fonction exponentielle de base a 30-03-21 à 21:47

"Vous en déduisez que f'(x) est strictement croissante"

"Vous en déduisez le signe de f' sur
sur chaque intervalle ]0 ; 6[ et ]6 ; +["
"
Donc on peut dire directement que f est strictement croissante sur  [6 ; +[
Et strictement décroissante sur ]0 ; 6[
Merci beaucoup

Posté par
LeHibou
re : Fonction exponentielle de base a 30-03-21 à 21:56

Oubliez f' pour l'instant, ça vous perturbe.
Imaginez une fonction g qui a une racine x0, donc g(x0) = 0
Ajoutons la condition g' > 0, donc g strictement croissante.
On en déduit que à gauche de x0 on a g < 0, et à droite de x0 on a g > 0

Pour fixer les idées, prenez par exemple g(x) = x-1
On a une racine évidente de l'équation g(x) = 0 : c'est x0 = 1
Pour x < 1, par exemple x = 0, on a g(0) = -1 < 0
Pour x > 1, par exemple 2, on a g(2) > 0

Jusque là, ça va ?

Posté par
LeHibou
re : Fonction exponentielle de base a 30-03-21 à 22:01

Citation :
Donc on peut dire directement que f est strictement croissante sur  [6 ; +[
Et strictement décroissante sur ]0 ; 6[
Merci beaucoup

En fait, on dirait bien que vous avez tout compris
Ce sont vos qui m'ont perturbé

Posté par
Mathes1
re : Fonction exponentielle de base a 30-03-21 à 22:50

D'accord , j'ai un peu compris merci beaucoup

Posté par
LeHibou
re : Fonction exponentielle de base a 30-03-21 à 22:59

C'est un exercice à étages, il faut d'abord traiter l'étage f' grâce à f" et remonter à l'étage f grâce à f', tu verras ça souvent.
Mais je pense que tu as compris maintenant...

Bonne soirée



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