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Fonction exponentielle .. de l aide !!! merci

Posté par X-Men (invité) 18-10-03 à 15:12

L'objet de cet exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0;+oo[ par :

g (t)= (1-e^-t)/t                         si t >0 et g(0)=1

1. a) établir que g est continue en 0
b) déterminer la limite de g en +oo

2.a)Pour tout t>0, calculer g'(t)
b) Prouver que pour tout t>=0 , 1+t<=e^t
c) en déduite le signe de g' et le sens de variation de g (on ne demande pas de construire la courbe représentative de g)

3.On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. A cet effet, on introduit la fonction h définie sur [0;+oo[ par :

h(t)= 1-t +(t²/2) - e^-t

a) calculer h' et h", ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0)
b) prouver que pout tout t>= 0
         0<=h(t)<= t^3/6
pour cela, on établiera d'abord que 0<=h"(t)<=t, et on en déduira un encadrement de h' puis de h
c) déduite de la relation 1) un encadrement de (1-e^-t -t)/t²
Prouver finalement que g est dérivabe en 0 et que g'(0)= -1/2

Quelqu'un pourrait m'aider ??? me donner des explications car je n'ai strictement rien compris à ces fonctions exponentielles

Je vous en remercie d'avance
X-Men

Posté par (invité)X-Men 18-10-03 à 15:13

J'ai oublié que

<= veut dire infèrieure ou égal à
>= "           " supérieure ou égla à

Posté par X-Men (invité)Fonction exponentielle de l aide svp !! merci beaucoup 19-10-03 à 12:08

  L'objet de cet exercice est d'étudier la fonction g définie
sur [0;+oo[ par :

g (t)= (1-e^-t)/t                         si t >0 et g(0)=1

1. a) établir que g est continue en 0
b) déterminer la limite de g en +oo

2.a)Pour tout t>0, calculer g'(t)
b) Prouver que pour tout t>=0 , 1+t<=e^t
c) en déduite le signe de g' et le sens de variation de g (on ne
demande pas de construire la courbe représentative de g)

3.On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. A cet effet,
on introduit la fonction h définie sur [0;+oo[ par :

h(t)= 1-t +(t²/2) - e^-t

a) calculer h' et h", ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0)

b) prouver que pout tout t>= 0  
         0<=h(t)<= t^3/6
pour cela, on établiera d'abord que 0<=h"(t)<=t, et on en déduira
un encadrement de h' puis de h
c) déduite de la relation 1) un encadrement de (1-e^-t -t)/t²
Prouver finalement que g est dérivabe en 0 et que g'(0)= -1/2

Quelqu'un pourrait m'aider ??? me donner des explications car je n'ai
strictement rien compris à ces fonctions exponentielles

( <= veut dire inférieur ou égal et >= supérieur ou égal)
Je vous en remercie d'avance
Car franchement là j'arrive pas

*** message déplacé ***

Posté par chtirico (invité)re : Fonction exponentielle de l aide svp !! merci beaucoup 19-10-03 à 12:39

1a il faut montrer que lim(x->0) g(x) = g(0)
1b lim(x->+00) = 0+
2a utilise la derivée de u/v
2b montre que 1 + t - e^t <= 0 pour cela etudie les variations de cette fonction
2c on en deduit g'(t) <= 0 dc g decroissante sur [0; +00[
3a derivée tu dois savoir le faire
3b la méthode est expliquée
3c definition de la dérivavilité



*** message déplacé ***



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