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Fonction exponentielle:parité de la fonction exp[x.arctan(1/x)]
Bonjour,
Je me permets de poster car j'ai une petite difficulté avec cet exercice.
Je dois déterminer la parité de la fonction f(x) = exp[x.arctan(1/x)]
f(x) est pair ssi f(-x) = f(x)
Je pose que f(x) est pair,
donc exp[-x.arctan(1/-x)] = exp[x.arctan(1/x)]
Je peux réécrire exp[-x.arctan(-1/x)] = (exp[x.arctan(-1/x)])-1
Ici, je dois déterminer si arctan(-1/x) est positif ou négatif.
En effet, si arctan(-1/x) est négatif, alors exp[-x.arctan(-1/x)] = (exp[x.arctan(-1/x)])-1 = [(exp[x.arctan(-1/x)])-1]-1 = exp[x.arctan(1/x)] et la fonction f(x) est paire.
Mon problème est que je ne sais pas si l'arctangente d'un réel négatif est négatif ou non. Si je ne dis pas de bêtise (ce dont je doute toujours fort), c'est indéterminé, puisque l'arctangente d'un réel peut être l'arctangente d'un angle positif ou d'un angle négatif.
Je donne un exemple pour être sûr d'être à 100% clair.
tan(135°) = -1 et tan(-45°) = -1 donc arctan (-1) = 135° ou -45°
Je suis un peu perdu... 
Ma question est donc : comment déterminer si arctan(-1/x) est positif ou négatif ?
Merci d'avance pour toute aide ou indice !
Cordialement,
x=tan(y) ET -
/2<y<salut
Je dois déterminer la parité de la fonction f(x) = exp[x.arctan(1/x)]
Je pose que f(x) est pair
quand on cherche une éventuelle (im)parité d'une fonction f :
on calcule f(x)
on calcule f(-x)
et essaie de comparer les deux :
s'il y a égalité alors f est paire
si ces images sont opposées alors f est impaire
et dans les autres cas f n'est rien du tout ...
Ici, je dois déterminer si arctan(-1/x) est positif ou négatif.
par contre ce qui peut être utile c'est de savoir si la fonction arctan est (im)paire éventuellement ...
si tu poses que f (et non pas f(x) !!) est paire ben alors tu as fini puisque tu dis que f est paire !!!
Oui, ç'aurait été plus exact de dire que je partais de l'impliqué pour remonter à l'impliquant, ce qui peut se faire il me semble. Mais en effet la présentation de mon raisonnement n'était pas très rigoureuse.
non on se moque du signe de arctan (x)
par contre ce qui peut être utile c'est de savoir si la fonction arctan est (im)paire éventuellement ...
Par contre là je ne sais pas si je suis d'accord, parce que si je ne dis pas de bêtise, il me semble que le fait que arctan(-x) soit négatif est une condition nécessaire pour que arctan soit impaire.
il est évident que pour une fonction impaire il y a des changements de signe mais il n'est pas important de connaitre le signe de arctan (-x)
l'important c'est que arctan (x) et arctan (-x) soient opposées (donc que arctan soit impaire) quel que soit le signe de arctan (x) ...
Oui, mais ce que je veux dire, c'est qu'il faut bien déterminer le comportement de la fonction, voire même il faut déterminer si arctan(x) est une fonction, ou plutôt "construire" arctan(x) comme fonction, i.e. en disant que pour tout x tel que x appartient au domaine de définition de arctan(x), il existe un seul y du codomaine de arctan(x) tel que arctan(x) = y (ce qui est la définition de base d'une fonction si je ne me trompe pas).
Autrement dit, il me semble qu'on peut résumer en disant que mon problème était que je ne connaissais simplement pas la définition de la fonction arctan(x), définition en vertu de laquelle, à tout x du domaine de définition de arctan(x) est associé un et un seul y du codomaine de arctan(x).
attention à ne pas confondre f et f(x) !!
je pense que tu te trompes sur le fond de ton pb : le fait que tu écrives arctan (x) montre que arctan est une fonction ...
et présuppose que l'objet (ici le nombre) arctan x existe (au moins pour certains réels x)
ensuite et c'est ce par quoi tu conclus effectivement, que tu ne connaisses pas cette fonction c'est autre chose et c'est la ton pb ... mais ce n'est alors uniquement qu'un pb de définition !!
qu'est-ce que l'objet arctan ? comment est-il défini ? quelle(s) propriété(s) possède-t-il ?
Oui en effet, c'est un peu embrouillé, je ne maîtrise pas tout à fait la terminologie et les symboles. Mais oui le pb de fond était que je ne connaissais pas la définition de la fonction arctan.
Merci en tout cas.
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