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Fonction exponentielle Terminale

Posté par
cow9740
24-01-23 à 17:43

Bonsoir, j'espère que vous allez bien (:
Aidez moi de faire ce devoir c'est pour rendre à vendredi . Mais c'est plus dure. Je n'arrive pas à faire.

Exercice 1:
L'objectif de l'exercice est de démontrer que pour tout n E N, lim x--> + 00 e^x/x^n= + 00
Le cas n= 0 a été traité en cours.
Partie A: cas n=1
On considère la fonction f définie sur R par : e^x-x²/2.
1) Déterminer la dérivée f' de f sur R.
2) En utilisant le fait que, pour tout x E R, e^x-x>0, dresser le tableau de f dur R.
3) En déduire que, pour tout x>0, e^x/x> x/2.
4) En déduire que lim x -->+00  e^x/x = +00.

Partie B:
1) Montrer que pour tout n E N et pour tout x>0:
e^x/x^n= (ex/n / x/n)n * (1/n)n
2) On pose X=x/n. On a alors: e^x/ x^n= (e^X/X)n * (1/n)n.
On admet le théorème suivant.
"Soient f et g deux fonctions. a, b et c sont des nombres réels ou +00 ou -00.
Si lim x-->a f(x)= b et lim x--> b g(x)= c, alors lim x--> a g (f(x))=c."
A l'aide de ce théorème et du chargement de variable proposée ci-dessus, démontrer que lim x-->+00 e^x/x^n = +00.

J'ai déjà répondu Partie A, je fais :
1) il faut calculer la dérivée; Résultat est f'(x)= e^x-x
2) Je fais le tableau de variation. On sait que e^x-x >0 donc f(x) est strictement croissante.
3) Je déduis. c'est bon que j'ai réussi
4)On en déduit, On an lim x--> +00 x/2 = +00 et comme e^x/x >x/2 donc lim x--> +00 e^x/x = +00.
Partie B:
Je n'ai pas réussi! je trouve que c'est vraiment dure! aidez moi pour faire partie B svp

Merci! Bonne soirée!

Posté par
Glapion Moderateur
re : Fonction exponentielle Terminale 25-01-23 à 09:29

Bonjour,
la question 1 de la partie B est facile, pars de l'expression de droite et simplifie la.

Posté par
cow9740
re : Fonction exponentielle Terminale 25-01-23 à 10:17

je n'ai pas compris l'expression de droite ? c'est comme quoi ?

Posté par
Leile
re : Fonction exponentielle Terminale 25-01-23 à 10:58

je ne fais que passer en attendant le retour de Glapion :

l'expression de droite dans  l'équation
e^x/x^n= (ex/n / x/n)n * (1/n)n
  
c'est

(ex/n / x/n)n * (1/n)n

simplifie pour retomber sur e^x / x^n

Posté par
cow9740
re : Fonction exponentielle Terminale 25-01-23 à 13:45

d'accord. Mais pouvez vous m'expliquer comment faire svp ? je veux comprendre plus claire

Posté par
cow9740
re : Fonction exponentielle Terminale 25-01-23 à 13:55

c'est bon j'ai bien compris!

Posté par
Leile
re : Fonction exponentielle Terminale 25-01-23 à 13:58

je te donne le début :

(ex/n / x/n)n * (1/n)n  =

\dfrac{(e^{\frac{x}{n}})^{n}*(\frac{1}{n})^{n}}{(\frac{x}{n})^{n}}

continue !

Posté par
cow9740
re : Fonction exponentielle Terminale 25-01-23 à 14:41

(ex/n/x/n)n*(1/n)n
= (ex/n)n/(x/n)n*1n/nn
= enx/n/xn/nn*1n/nn
=enx/n*1n/xn/nn*nn
=ex*1n/xn
Et voilà ! c'est bon ?



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