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Fonction-géométrie
Bonjour,
J'ai un exercice en DNL Italien maths. Je le traduis en français:
Luigi veut faire une mosaïque dans sa salle de restaurant.
Il doit choisir les mesures d'un rectangle fait avec des morceaux de mosaïques blancs et une diagonale de morceaux de mosaïques dorés, coutant plus chère.
Il a 4m^2 de morceaux de mosaïques blancs e Luigi doit trouver la mesure du côté du rectangle qui donnera la diagonale la plus petite possible.
x correspond au côté AB du rectangle et f(x) à la diagonale AC.
2.a. Expliquer pourquoi l'autre côté mesure 4/x.
Il mesure 4/x car la dimension totale est de 4m^2 soit AB*BC=4 Donc x*4/x=4.
2.b. Quelle est l'expression de f(x)?
On applique Pythagore: f(x)^2=AB^2+BC^2 Ainsi f(x)=√(AB^2+BC^2 )=√ ((x^2)+(4/x)^2)).
2.c. Quel est le domaine de définition? De 0 exclut à + infini.
3.a. Décrire les variations de f.
Pour cette question j'ai calculé f'(x) mais je ne suis pas sûre car il y a une racine.
Sans la racine on trouve f'(x)=-32/x^3 mais je ne sait pas comment faire avec la racine, pourriez-vous m'aider, svp?
3.b. Résoudre le problème de Luigi.
Je n'y arrive pas non plus.
Merci d'avance
Bonjour,
dérivée de , c'est du cours :
Formules - Formulaire : Dérivées de fonctions usuelles
de plus même "sans la racine" la dérivée de n'est pas ce que tu dis.
la 3b c'est la conséquence immédiate de la 3a ( = une simple phrase pour interpréter le résultat)
Merci pour votre réponse, c'est vrai que je ne connais pas toute les dérivées par coeur.
Donc on a (2x+(-32/x^3))/(2√(x^2+((4/x)^2))).
"je ne connais pas toute les dérivées par coeur."
c'est à ça que sert un formulaire 
oui là c'est bon.
et pour étudier les variations de f(x) à quoi va servir cette dérivée ?
On a f' sera du signe de 2x-32/x^3 car (2√(x^2+((4/x)^2))) est strictement positif sur )0;+infini(.
Ainsi 2x-32/x^3=2(x^4-16)/x^3=2(x^2-4)(x^2+4)/X^3=(2(x-2)(x+2)(x^2+4))/(x^3)
Ce sera donc su même signe de x-2 ainsi x=2 donc de )0;2( signe négatif et de )2;+infini( signe +.
Et du coup pour la 3.b comme on sait que f' s'annule en 2. La valeur de f(2) donnera la longueur minimale qui vaut 2.8 est-ce correct?
tout bon
mais !
[ signe de f'(x) ] )0;2( signe négatif et de )2;+infini( signe +.
oui, mais il faut en tirer explicitement les conséquences sur les variations de f(x) (c'est bien la question, non ?)
3b) il ne suffit pas que la dérivée s"annule pour que ce soit un minimum !
(ça pourrait aussi bien être un maximum, ou même pas : un point d'inflexion)
c'est le tableau de variations qui le dit.
Ok donc ainsi de )0;2( f négative et f positive de )2;+infini( Ainsi on en déduit que f(2) est le minimum de la fonction est donc la mesure de la diagonale. Est-ce correct?
on déduit que f(x) est décroissante dans ]0; 2[ et croissante dans ]2; +infini[
sans ces mots explicitement écrits de décroissante et de croissante (bref faire la question 3a !!) il n'est pas possible de parler de minimum.
Oui pardon c'est décroissant et croissant j'avais la représenations des flèches dans ma tête mais j'ai mal interprété à l'écrit!
Du coup pour la 3.b. c'est f(2) pour avoir la diagonale la plus petite?
ok pour la diagonale mais je ne suis pas bien sûre de comprendre le côté c'est x=2?
C'est pour avoir le côté le plus petit ou?
lorsque le côté (x) mesure 2, alors la diagonale est minimale et mesure f(x) = f(2)
principe de base de toute fonction
qui à chaque valeur de x (dans le domaine de définition) fait correspondre une valeur = f(x)
chercher le minimum de f(x) c'est chercher la valeur de x qui rend minimale f(x)
pas la valeur minimale de x 
f(x) est minimale (et à la valeur f(a)) pour x = a
ici ce qui intéresse notre bricoleur c'est de savoir quelles sont les dimensions de la pièce, (x et 4/x) pour que la diagonale soit minimale
et la valeur de la diagonale lui servira pour savoir combien il doit payer
Ok donc j'ai juste une dernière question
on a la diagonale qui mersure (2)=2.8 Et le côté mesure x=2 et 4/x=4/2=2 Mais alors le rectangle devient un carré?
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