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Fonction holomorphe constante

Posté par
needer 08-03-19 à 18:00


Bonjour,  je suis bloqué à cette question :

Soit f une fonction entière (holomorphe sur tout  \mathbb{C}  ) telle que pour un C<\infty  on a :

| f(z)|^3\le C ( 1+ |f(z)|)^2

Démontrer que f est constante.

J'ai essayé de montrer que  f'=0  avec les équations de Cauchy-Riemann mais je n'arrive pas.

Posté par
jsvdbre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 18:19

Bonjour needer.
Simple application du principe du maximum : ta fonction est bornée donc constante.

Posté par
verdurinre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 18:19

Bonsoir,
ta condition entraîne que \lvert f(z)\rvert est bornée sur \C.

Posté par
jsvdbre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 18:31

Même pas besoin d'invoquer le principe du maximum

Posté par
neederre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 19:13

Bonjour jsvdb

Je viens encore de vérifier sur mon cours, je ne trouve pas le principe du maximum.

Je trouve juste Inégalité de Cauchy :

Si f est holomorphe sur un ouvert U et si \overline{D\left( a,r \right)} et inclus dans U , alors :

\forall n\ge 0,\text{ }\left| \frac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!} \right|\le \frac{1}{{{r}^{n}}}\underset{\partial D\left( a,r \right)}{\mathop{\max }}\,\left| f \right|

Posté par
carpediemre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 19:20

salut

sans aller chercher quoi que ce soit mais avec un minimum de réflexion :

si f(z) = re^{it}  (r et t dépendant de z bien sur)

alors |f(z)|^3 \le c(1 + |f(z)|)^2 \iff r^3 \le c(1 + r)^2

que se passe-t-il si r tend vers +oo ?

Posté par
neederre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 19:45

Bonjour carpediem

{{r}^{3}}\le c{{\left( 1+r \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{3}}\left( 1-\frac{c}{r}-\frac{2c}{{{r}^{2}}}-\frac{c}{{{r}^{3}}} \right)\le 0

Si r tend vers +\infty on a +\infty \le 0, ok absurde. Mais ceci est-il valable pour toute fonction entière ?

Posté par
carpediemre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 19:52

ben après si f est holomorphe alors  f(z) = \sum a_n z^n donc f bornée = f constante ...

Posté par
jsvdbre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 20:14

@needer : Il n'y a peut-être pas de principe du maximum dans ton cours mais visiblement c'est quasiment ce que tu me cites ( disons que le principe du maximum en est une conséquence )
Néanmoins la façon de rédiger de carpediem (Sous réserve de se rappeler que analytique est équivalent À holomorphe) a le mérite de l'extrême simplicité (bien entendu on n'oublie pas qu'on est sur C, Sinon ledit raisonnement tombe à l'eau )

Posté par
neederre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 20:34


Justement, je n'ai pas vraiment bien compris son raisonnement.

Posté par
jsvdbre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 21:42

Oui, bah après réflexion, je ne vois pas pourquoi être analytique et être borné impliqueraient être constante ... trop simpliste !

Posté par
jsvdbre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 21:57

Donc, si f est entière et bornée, alors f est constante.
C'est le Théorème de Liouville qui s'énoncé ainsi :
S'il existe C,R,k \in \R telle que pour tout |z| \geq R,~|f(z)| \leq C|z|^k alors f est un pôlynôme.

La démonstration se fait effectivement à partir des majorations de Cauchy : \forall n\ge 0,\text{ }\left| \frac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!} \right|\le \frac{1}{{{r}^{n}}}\underset{\partial D\left( a,r \right)}{\mathop{\max }}\,\left| f \right| (*)

Remarquons déjà que le fait de pouvoir majorer les dérivées d'une fonction par les valeurs de cette fonction est une propriété peu habituelle

L'idée c'est de passer à la limite quand n tend vers +.

On prend n > k et on aura pour r \geq R : \left| \frac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!} \right| \leq \frac{1}{r^n}Cr^k=Cr^{k-n} qui tend vers 0 si r tend vers + car k-n >0.

Par conséquent \left| \frac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!} \right|  = 0 pour tout n > k et f est un polynôme.

En prenant k = 0, f(z) = a_0z^0=a_0=f(a) et f est constante.

Par conséquent, une fonction entière qui vérifie | f(z)|^3\le C ( 1+ |f(z)|)^2, est bornée, et est donc constante.

Posté par
neederre : Fonction holomorphe constante 08-03-19 à 23:41


Bonsoir jsvdb, et merci pour la démonstration.

J'ai déjà vu ce théorème dans un livre de master, je pense que c'est le but de l'exercice, démontrer le Théorème de Liouville à partir des inégalités de Cauchy, car on n'a pas ce théorème dans le cours.

Finalement, on ne sait pas si c'est grâce à Cauchy ou à Liouville, mais Liouville a fait avant lui.

Posté par
jsvdbre : Fonction holomorphe constante 09-03-19 à 00:13

Oui, les majorations sont de Cauchy et il eut été bien surprenant qu'il ne s'aperçut point de leurs conséquences immédiates.
Mais il semble historiquement que Cauchy ne l'ait pas démontré, mais bel et bien Liouville. Mais celui-là revendiquera plus tard la paternité de la démonstration; Mâtin qu'il fut ! pourquoi ne l'avoir pas tôt faite ?

Posté par
neederre : Fonction holomorphe constante 09-03-19 à 00:25


Je suis encore en L3 donc c'est le début de l'analyse complexe, c'est pour ça, je crois. Mais par curiosité, je l'ai vu dans un livre d'analyse complexe de master.


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