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Niveau Maths sup
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Fonction invariante par translation

Posté par
AstreB612
05-10-24 à 15:08

Bonjour,
Une fonction invariante par translation peut elle toujours se décomposer en une somme d'une fonction affine et d'une fonction périodique ?

Posté par
carpediem
re : Fonction invariante par translation 05-10-24 à 17:08

salut

et si f est 1-périodique et vaut sur l'intervalle [0, 1[ : f(x) = e^x $ ou $ f(x) = \ln (1 + x)  ?

Posté par
verdurin
re : Fonction invariante par translation 05-10-24 à 19:43

Bonsoir,
je ne sais pas vraiment ce qu'est une fonction « invariante par translation. »
J'imagine que c'est une fonction telle qu'il existe un réel non nul p et et un réel q tels que f(x+p)=f(x)+q quelque soit le réel x.
Dans ce cas la fonction g définie par g(x)=f(x)-\frac{q}{p}x est p-périodique.
Je te laisse le démontrer.

Posté par
AstreB612
re : Fonction invariante par translation 05-10-24 à 19:44

Je ne vois pas trop...
exp(x) n'est pas &-périodique... exp(x+1)!=exp(x).

et puis même si exp était périodique alors on pourrait dire que c'est la somme d'une fonction fonction périodique (la fonction exp ducoup) et une fonction affine (la fonction qui a x associe 0).

Et puis de toute manière le graphe de exp n'est pas invariant par translation...(Bien sûr la translation de vecteur nul n'est pas prise en compte).

Posté par
AstreB612
re : Fonction invariante par translation 05-10-24 à 19:46

Oui je me suis mal exprimé, je voulais dire une fonction dont le graphe est invariant par translation.

Oui c'est ce que j'avais trouvé verdurin, merci pour la confirmation !

Je trouvais nulle part sur internet ce résultat pour m'en assurer.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction invariante par translation 06-10-24 à 07:31

Bonjour,
Dans ta propriété, "affine" peut être remplacé par "linéaire".
Ce serait bien, de réécrire ta propriété avec précision.



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