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fonction lagarithme neperien , besoin d aide svp !

Posté par Emmanuelle7 (invité) 24-12-04 à 11:51

Bonjour ,
J'ai un petit problème avec une fonction ln ,
alors on a f definie sur [0 , + oo [ par :
   f(x) = x²/2 (ln x - 3/2) si x > 0
   f(0) = 0

Et il faut que je trouve la limite de
[f(x) - f(0)] / x  quand x tend vers 0 et en déduire que f est derivable en x = 0 ?
Je n'arrive pas à trouver de limites.
et ensuite il faut que j'étudie les variations , j'ai trouver comme derivée x(ln x - 1 ) mais après je ne sais plus , si vous pouviez m'aider , merci beaucoup.
Emmanuelle.Joyeux noël

Posté par miquelon (invité)re : fonction lagarithme neperien , besoin d aide svp ! 24-12-04 à 12:10

Bonjour,

- Comme f(0) = 0, cela revient à étudier la limite de f(x)/x.

C'est à dire (x*ln x)/2 - 3x/4

1) Pour la limite de x*ln x quand x tend vers 0, il y a un théorème (la limite est zéro).
2) Pour 3x/2, je vous laisse faire ...


- Pour la dérivée, vous avez un produit de x par ln x -1.

Comme x est positif, la dérivée est du signe de ln x - 1. Il faut donc étudier le signe de ln x -1 quand x > 0.
(C'est à dire résoudre ln x - 1 = 0 et ln x -1 > 0) .

Bon travail et bonnes fêtes.

Posté par
Nightmarere : fonction lagarithme neperien , besoin d aide svp ! 24-12-04 à 12:45

J'ajouterais même ( puisque j'en suis venu à donner des démonstrations à tout vent ) :

Soit f(x)=\frac{ln(x)}{x} . f admet pour dérivée f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x} qui est négative pour x>e donc f est décroissante strictement positive sur [e;+\infty[
Elle admet donc une limite l positive ou nulle en +\infty . cette limite est aussi celle de \frac{ln(x^{2})}{x^{2}} soit :

\begin{tabular}\lim_{x\to +\infty} \frac{ln(x^{2})}{x^{2}}=l&\Longrightarrow&\lim_{x\to +\infty} \frac{2ln(x)}{x^{2}}=l\\&\Longrightarrow&\lim_{x\to +\infty} 2\times\frac{ln(x)}{x}\times\frac{1}{x}=l\\&\Longrightarrow& 2\times l\times 0=l\\&\Longrightarrow& \fbox{l=0}\end{tabular}

on a donc :
\lim_{x\to +\infty} \frac{ln(x)}{x}=0

Or :
\begin{tabular}\lim_{x\to 0}xln(x)&=&\lim_{x\to 0} -xln(x)\\&=&\lim_{x\to 0} \frac{ln\(\frac{1}{x}\)}{\frac{1}{x}}\\&=& \lim_{t\to +\infty} \frac{ln(t)}{t}\\&=&\fbox{0}\end{tabular}

Voili voilou


jord

Posté par miquelon (invité)re : fonction lagarithme neperien , besoin d aide svp ! 24-12-04 à 13:01

Pour Nightmare,

Euh... là je ne comprends pas très bien :

Vous dites : quand x->0, lim x*ln x = lim -x*ln x...
Comment le justifiez-vous ?

Car dans ce cas, quand x->0+, lim (1/x) = lim (1/-x) !!

Posté par miquelon (invité)re : fonction lagarithme neperien , besoin d aide svp ! 24-12-04 à 13:12

Par contre, on peut écrire :

x*ln x = - x * ln (1/x)
   = - ln(1/x) / (1/x)

1/x -> + donc on applique le théorème de ln(t)/t quand t tend vers +, on trouve que x*ln x tend vers -0, donc 0.

A+ et bonnes fêtes de noël

Posté par
Nightmarere : fonction lagarithme neperien , besoin d aide svp ! 24-12-04 à 13:42

Euh oui effectivement excusez moi Miquelon j'ai pris l'égalité dans le mauvais sens

Il fallait dire :

0=\lim_{x\to 0} \frac{ln\(\frac{1}{x}\)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0} -x.ln(x)\Longrightarrow\lim_{x\to 0} xln(x)=0


Jord


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