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Fonction ln
Bonjour je m'appelle Carole et je suis en Terminale S.
Je rencontre quelques difficultés à propos du sujet suivant:
ln (1+x)
Soit f(x)= --------------- avec f(0)=1
x
1- Encadrement de ln (1+x)
a) prouvez que pour tout réel t>0:
1-t < 1/ (1+t) < 1
b)Déduisez de a. que pour tout réel x>0, on a:
x- ((x^2)/2) < ln (1+x) <x
Pour le reste du problème, je n ai rencontré aucun problème, j espère
que vous pourrez m aider!! Merci, @ bientot
Carole
1. a) On a : t>0, donc 1+t>1, c'est-à-dire: 1/(1+t) < 1.
Pour la deuxième partie de l'inégalité, étudions 1-t - 1/(1+t):
1-t - 1/(1+t) = (1+t-t-t²-1) / (1+t) = -t² / (1+t)
Comme t² >0 et 1+t>1, alors -t²/(1+t) <0.
D'où : 1 - t < 1/(1+t)
b) Pour touver le résultat attendu, j'intégre l'inégalité
précédente entre 0 et x, nous avons :
[int représente le symbole intégrale de 0 à x]
int(1-t) dt < int (1/(1+t)) dt < int(1) dt
Donc : [t-t²/2]<[ln(1+t)]<[t]
(les bords droits des crochets doivent être marqués de 0 à x)
Donc : x - x²/2 < ln(1+x) < x
Voilà la solution, si tu ne comprends pas quelque chose, n'hésite
pas à poster un nouveau message.
Océane
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