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fonction (ln) et algorithme
Bonjour, je voulais réviser et je suis bloqué sur un exercice encore, dont je n'ai pas encore le corrigé
donc je viens ici pour vous donner l'exercice et mon avancement dans celui ci
Partie A
On définit la fonction d sur [1;+infini[ par d(x)=ln x-(x-1)+ ((x-1)²/2)
1) Etudier les varations de la fonction d sur [1;+infini[ et en déduire le signe de d(x)
2) Procéder de même maniere avec la fonction & définie sur [1;+infini[ par &(x)=lnx-(x-1)
3) En déduire que pour tout x supérieur à 1, - ((x-1)²/2) < lnx-(x-1) < 0 et |lnx-(x-1)| < ((x-1)²/2)
4) il en résulte que par exemple 0,00001 est une valeur approchée de ln 1,00001.
Dans cette exemple, donner un majorant de l'erreur c'est à dire un nombre plus grand que la valeur absolue de la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée.
Partie B
on considère l'algorithme suivant:
Entrée a(1<a<20)
Entrée n (entier naturel)
Dans U mettre a
Pour l de 1 à n
Dans U mettre racine carré de U
Fin de la boucle Pour
Dans V mettre U-1
Pour l de 1 à n
Dans V mettre 2xV
Fin de la boucle Pour
Afficher V
1) faire fonctionner cet algorithme à la main pour a=16 et n=4
2) implémenter cet algorithme sur calculatrice, le faire fonctionenr pour n=10 avec a=8 puis avec a=1,234
Comparer avec ln a , qu'observe t'on ?
3) Exprimer ln U en fonction de ln a . En utilisant le résultat de la question A)3) en déduire que |ln a - V| < (U-1)²x 2^(n-1)
ici U désigne le contenu de la variable U à la fin de la 1ere boucle et V le contenu de V à la fin de la 2ème boucle
4) avec n=15 et a=2 , l'algorithme donne U-1 = 0,0000211534 à la fin de la première boucle et la partie A prouve que |ln U - (U-1)| < 3x10^10
Expliquer pourquoi la valeur de V affichée à la sortie de l'algorithme vérifie alors l'inégalité |ln2-V| < 10^-5
Donner V et une valeur approchée de ln 2 donnée par une calculatrice;
5)le nombre a, supérieur à 1 étant donné on peut considerer que les variables U de cet algorithme sont les premiers termes d'une suite et démontrer qu'elle converge vers 1, on l'admet ici. On peut donc obtenir que U soit aussi proche de 1 que l'on souhaite.
Modifier alors l'algorithme en rajoutant une condition pour que 0<U-1<10^-8
et simplifier le en évitant d'utiliser la deuxième boucle.
Partie A
1) d'(x)= (1/x)+x-2
donc d(x)>0 croissant
d(x)<0 décroissant
2) &'(x)=(1/x)-1
donc &(x)>0 croissant jusque 1 et décroissant de [1;+inf[
&(x)<0 décroissant
3) je ne sais pas faire
4) je ne sais pas majoré encore
Partie B
1) V=6
2) V=14
3) je ne sais pas faire
4) car elle est dans l'intervalle ?
5) je vois pas quoi faire non plus ...
Bonsoir,
d'(x) peut s'écrire (x²-2x+1)/x = (x-1)²/x
Comme x>0 sur le domaine d'étude d' est >0 sur ce domaine.
La fonction est croissante.
Comme d(1)=0 et d(x)> d(1) sur domaine d(x)
0 sur [1;+
[
Clair ou pas ?
oui merci de votre aide je bloque pour la partie B car j'ai jamais fait d'algorithme et je voudrais faire celui la en premier 
Si tu fais fonctionner à la main tu obtiens:
a=16
n=4
U=a=16
U=
U=4
U=U=2
U=U=2=1.414
U=U=1.414=1.189
V=U-1=0.189
V=2V=2*0.189=0.378
V=2V=0.757
V=2V=1.513
V=2V=3.03
Tu vois ?
Bonsoir,
Je ne peux pas mettre ça dans ta calculatrice, d'abord parce que je ne l'ai pas, ensuite parce que je ne manie pas la calculatrice très bien. Alors, je te mets ce que ça donne avec Algobox...à toi d'adapter.
je viens d'installer algobox sur mon ordinateur et ca fonctionne !
bon bah pour la 3,4 et 5 par contre je saurais pas répondre
Si tu poses y=1/2n, tu vois que
U=ay
J'ai fait comme cela parce qu'à l'écran je ne sais pas écrire directement a puissance 1/2puissance n.
En effet tu prends la racine carrée de a...a puissance 1/2
puis la racine carrée de a uissance 1/2...a puissance 1/4
Pigé ?
De même V =(U-1)* 2n...facile à voir, non ?
ln(U)= (1/2n)ln(a)
ln(a)= 2nln(U)
Ensuite tu remplaces ln(a) et V par les valeurs ci-dessus dans le résultat de la question A3 et tu vas arriver au résultat de cette question B3
La suite, je peux la regarder plus tard si tu le souhaites...pause casse-croûte (sacrée chez le retraité, tu le sais !).
Pour la suivante, on te donne I ln(u) -(U-1)I< 3*10-10 attention c'est moins 10, tu as mis +10 dans l'énoncé
Si on remplace ln(U) par (1/214)ln2
on obtient
I(1/214)ln2 -(U-1)I <3*10-10
Si on multiplie membre à membre par 214
Iln2 -214(U-1)I <3*10-10*214
on reconnait V et on utilise 214=16384 <2-104
Iln2 -V I < 6*10-6< 10-5
Exemple de réponse à la dernière question...
Je fais afficher ln(a) pour montrer que V calculé est "identique"...
merci pour ce travail ca m'a vraiment aidé même si tout est pas encore autonome je vois comment il faut procéder dans les grandes lignes c'est deja ca!
sur ce bonne année à vous et à la prochaine peut etre aurevoir
Bonjours , comment fait tu pour resoudre ???
3) En déduire que pour tout x supérieur à 1, - ((x-1)²/2) < lnx-(x-1) < 0 et |lnx-(x-1)| < ((x-1)²/2)
4) il en résulte que par exemple 0,00001 est une valeur approchée de ln 1,00001.
Dans cette exemple, donner un majorant de l'erreur c'est à dire un nombre plus grand que la valeur absolue de la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée.
Bonjour,
Tu ressors ce sujet de l'année passée, je m'y remets....
d(x) est croissante et d(1)=0
&(x) est décroissante et &(1)=0
donc pour la double inégalité, il suffit d'utilser ces résultats pour écrire :
Pour si >1:
ln(x) - (x-1) + [(x-1)²/2] >0 ....-(x-1)²/2 < ln(x)-(x-1) 1ère partie double-inégalité
ln(x) - (x-1) <0....2ème partie
comme les termes de la 1ère partie sont tous les deux négatifs, en valeur absolue, l'inégalité s'inverse, d'où le résultat en valeur absolue à démontrer..
Pigé ?
Pour la 4) :
si je pose x=1 + 
, l'inégalité donne
Iln(1+)-I < ²/2
donc si je fais l'approximation ln(1+)=, la différence (en valeur absolue) entre la valeur exacte et la valeur approchée est inférieure à ²/2
Dans le cas où =10-5, ²/2=5*10-11 est un majorant de l'erreur
Clair ou pas trop clair ?
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