Niveau terminale

Fonction ln et limite d'une suite

Posté par
SalmaEl30 28-11-16 à 15:45

Bonjour, j'ai un exercice concernant la fonction ln, et je bloque sur une question à propos de la limite d'une suite, voici l'énoncé:

$f(x)=x-ln(x)$

L'équation $f(x)=n$ ( n appartient à N et n>1) admet sur l'intervalle $]0,+\infty [$ deux solutions $\alpha _{n}$ et $\beta _{n}$ : $0\prec \alpha _{n}\prec 1\prec \beta _{n}$

J'ai pu déduire que la suite $( \beta _{n})$ est croissante, que $\beta _{n}\geq n$ et que sa limite en plus l'infini c'est plus l'infini, et aussi, $(\alpha _{n})$ est décroissante et convergente.

je ne sais pas comment faire pour calculer la suite $(\alpha _{n})$ .
Je voulais commencer par : $f(\alpha _{n})=n\Leftrightarrow \alpha _{n}-ln(\alpha _{n})=n\Rightarrow \alpha _{n}\left(1-\frac{ln\left(\alpha _{n} \right)}{\alpha _{n}} \right)=n$

la limite de la suite $(\alpha _{n})$ est un nombre réel $l$ et la limite de n c'est plus l'infini, et c'est là où je me bloque

Quelqu'un pourra m'aider? Merci d'avance!

Posté par re : Fonction ln et limite d'une suite 28-11-16 à 16:06

Bonjour,

Tu peux montrer que pour $n\geq 1$ , $f\left(\dfrac{1}{n}\right)\leq n$

soit que $f\left(\dfrac{1}{n}\right)\leq f(\alpha_n)$ donc que $\alpha_n\leq \dfrac{1}{n}$

Posté par re : Fonction ln et limite d'une suite 28-11-16 à 16:23

Autre solution:

$\alpha_n-\ln\,\alpha_n=n$ (1)

On sait que $\lim\limits_{n\to +\infty}\alpha_n=\ell$ avec $0\leq \ell\leq 1$

Si $\ell\not=0$ , on obtient une contradiction en passant à la limite dans $(1)$

Donc $\ell =0$

Posté par re : Fonction ln et limite d'une suite 28-11-16 à 16:36

lake @ 28-11-2016 à 16:23

Autre solution:

$\alpha_n-\ln\,\alpha_n=n$ (1)

On sait que $\lim\limits_{n\to +\infty}\alpha_n=\ell$ avec $0\leq \ell\leq 1$

Si $\ell\not=0$ , on obtient une contradiction en passant à la limite dans $(1)$

Donc $\ell =0$

Merci pour votre aide, j'ai suivi ces étapes et voilà ce que j'ai obtenu : $f(\alpha _{n})=n\Leftrightarrow \alpha _{n}-ln(\alpha _{n})=n\Leftrightarrow l-\lim ln\left(\alpha _{n} \right) = lim( n)$
Ce que je ne comprends pas est que la limite de ln en plus l'infini c'est moins l'infini, avec le moins, c'est plus l'infini et la limite de n en plus l'infini c'est plus l'infini, donc l peut être n'importe quel nombre, ça ne changera rien

Posté par re : Fonction ln et limite d'une suite 28-11-16 à 16:39

Si $\ell\not= 0$ , en passant à la limite, on obtient:

$\ell-\ln\,(\ell)=\lim\limits_{n\to +\infty}n$ non ?

Ce qui ne va pas du tout

Posté par re : Fonction ln et limite d'une suite 28-11-16 à 16:40

J' ai utilisé sans le dire la continuité de la fonction ln sur son ensemble de définition...

Posté par re : Fonction ln et limite d'une suite 28-11-16 à 16:45

lake @ 28-11-2016 à 16:39

Si $\ell\not= 0$ , en passant à la limite, on obtient:

$\ell-\ln\,(\ell)=\lim\limits_{n\to +\infty}n$ non ?

Ce qui ne va pas du tout

Ah oui, c'est bon c'est rectifié! Merci pour votre aide!

Posté par re : Fonction ln et limite d'une suite 28-11-16 à 16:46

De rien SalmaEL30

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