Niveau terminale

Fonction ln et limite d'une suite

Posté par
SalmaEl30 29-11-16 à 19:52

Bonjour, j'aimerai bien un peu d'aide pour un exercice voici les données:

- soit $f_{n}$ une fonction définie sur R+ par :

- $f_{n}(x)=\frac{x\times (ln(x))^{n}}{x+1}$ et $f_{n}(0)=0$

- sur l'intervalle [1,e], f est  croissante

- soit $u_{n}$ la solution de l'équation $f_{n}(x)=\frac{e}{2(e+1)}$ sur l'intervalle [1,e]

- $(u_{n})$ est une suite croissante et majorée par e donc elle est convergente et $lim(u_{n})=l$

- $(u_{n})\leq l$ donc $\frac{e}{2(e+1)}\leq \frac{l\times (lnl)^{n}}{l+1}$

- On  suppose que $1\leq l\prec e$ , j'ai trouvé que $lim\frac{l\times (lnl)^{n}}{l+1}=\frac{e}{2}$ ( je suis pas sûre que cette limite soit correcte)

ce qu'on demande de faire est  déduire la valeur de $l$

$limf(lim(u_{n}))=\frac{e}{2}$ comment je peux déduire la limite de (Un)?

Merci beaucoup pour votre aide!

Posté par re : Fonction ln et limite d'une suite 29-11-16 à 20:15

Bonsoir,

Citation :
- Orn suppose que $1\leq l\prec e$ , j'ai trouvé que $lim\frac{l\times (lnl)^{n}}{l+1}=\frac{e}{2}$ ( je suis pas sûre que cette limite soit correcte)

Non, la limite est nulle puisque $0\leq \ln\,\ell <1$

Posté par re : Fonction ln et limite d'une suite 29-11-16 à 20:49

Pour la suite:

Citation :
$\frac{e}{2(e+1)}\leq \frac{l\times (lnl)^{n}}{l+1}$

En passant à la limite, tu obtiens donc:

$\frac{e}{2(e+1)}\leq 0$

Ce qui est absurde.

L' hypothèse $1\leq \ell<e$ est donc fausse.

Donc $\ell=e$

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