fn (x)=x^n*ln(1+x)  
fn '(x) = (n.x^(n-1)). ln(1+x) + [(x^n)/(1+x)]
fn '(x) = x^(n-1).[n. ln(1+x) + (x/(1+x))]

fn '(x) = x^(n-1). hn(x)

Si n impair, n-1 est pair et on peut écrire n - 1 = 2k (k entier)
-> fn '(x) = x^(2k). hn(x)
fn '(x) = (x^k)². hn(x)
Et comme un carré est toujours >=0

fn'(x) a le signe de hn(x) si n est impair.
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Si n est pair: n - 1 est impair et x^(n-1) a le signe de x

->
fn '(x) = x^(n-1). hn(x)
a le signe de hn(x) si x > 0
a le signe contraire de hn(x) si x < 0
= 0 si x = 0
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Sauf distraction.