Bonjour,
j'ai trouvé cet exercice (j'essaye de m'entrainer) mais je n'ai pas de résultat donc je vais essayer :
Soit la fonction définie sur l'intervalle [1; +[ par:
(x) = 1 + x² - 2x²Ln(x)
1) a. Etudier le sens de variation de la fonction que l'intervalle [1; +[
b. Calculer Q(e). Démontrer que l'équation (x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [1;e] à 10-1.
c. Déterminer le signe de (x) suivant les valeurs de x.
2) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [1;+[ par:
f(x)= Ln(x)/1+x²
a. Calculer f'(x) et montrer que pour tout x1, on a:
f'(x)= (x) / x(1+x²)²
b. En déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction f sur [1;+[
c. Démontrer que pour tout x appartenant a l'intervalle [1; +[, 0 f(x) Ln(x) / x²
d. En déduire la limite de f(x) quand x tend vers +.
Comme j'ai pas mal de difficulté je commence par étape
1)a) pour faire le tableau de variation je calcule la dérivée
Q '(x)= -4xlnx
x 1 + infini
Q'(x) 0 -
Q 2 Flèche descendante - infini
b) Q(e)=1+e²-2e²ln(e) = on sait que ln(e)=1 donc 1+e²-2e²=1-e² pas sûr de moi savoir si il y a une suite ou pas
c) la fonction Q(x) est croissante [1 ;] et décroissante sur [; + )
Je m'arrête là pour l'instant
MERCI
Bonjour,
je ne comprend pas
Hekla me dit que ma dérivée est fausse et
carita me dit que c'est ok
?
Hekla j'ai bien fait pour 2x²ln(x) la dérivée de la forme de uv soit u'v+uv'
b) Q(e)=1+[/rouge]e²-2e²ln(e) = on sait que ln(e)=1 donc 1+e²-2e²=1-e² pas sûr de moi savoir si il y a une suite ou pas
c) la fonction Q(x) est croissante [1 ;] et décroissante sur [; + )
Carita tu mets quel est le signe de Q(e) je ne sais pas (j'ai 1-e² je dois prendre quel signe 1 ou -e² ? mais un carré est toujours positif car le signe est croissant
j'avoue que là je suis perdue
d'après ma calculatrice j'ai bien Q(x)= croissante puis décroissante
MERCI
Re,
hekla : oui pour Q ' mais j'ai simplifié après et j'ai donc -4xlnx
ici on disait la fonction définie sur l'intervalle [1; +[ voilà pourquoi je n'ai pas mis le 0 dans mon tableau
moi j'ai
x 1 + infini
Q'(x) 0 -
Q 2 Flèche descendante - infini
j'ai trouvé comme toi pour Q(e)=1-e² mais je n'arrive pas à trouver la valeur. Comment fais-tu ? je rentre ceci dans ma calculatrice et ça ne veut pas
MERCI
Pour la dérivée on est bien d'accord je n'avais pas simplifié car c'était le même résultat
J'ai oublié l'ensemble de définition sans doute pour vous évitez de calculer la limite en 0
La valeur n'a pas d'importance ce que l'on voulait c'était son signe et on peut facilement
l'obtenir car \text{e}>1
donc et
Quelle calculatrice ? En tapant
1 - e^( 1 ) ^ 2
Re,
j'allais justement te mettre que j'avais trouvé ton résultat. Je faisais une énorme erreur.
donc j'ai bien Q(e) = environ -6,39
Que dois-je faire encore dans cette première partie ?
Comme j'ai du mal avec les limites si tu peux me les donner pour 1 et - infini
moi je trouve lim pour 1 je trouve lim Q(x)=1
et pour lim tend vers + infini je trouve Q(x)= + infini
MERCI
je vais essayer de continuer
2) a) pour f(x)=ln(x)/(1+x²) je calcule f '(x)= forme u/x= (1/x*(1+x)²-2xln(x)/(1+x)² je multiplie le numérateur par x pour retrouver le même dénominateur que l'énoncé et je trouve
au numérateur 1+x²-2x²ln(x) ce qui me donne bien la fonction Q(x) donc on peut affirmer que
f '(x)= Q(x)/x(1+x²)²
b) x(1+x²)² >0 pour x [1 ; + infini[
f'(x) a le même signe que Q(x) f '(x)<0 et f(x) est décroissant sur l'intervalle [1 : + infini[
JE M'arrête là pour l'instant
MERCI
Après le calcul de vous avez tout ce qu'il faut pour utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
et ainsi prouver l'existence de l'unique solution de
il faudra lui donner un nom Vous avez avalé quelques morceaux de texte
maintenant écrivez le signe de
Quant aux limites en 1 la fonction est définie donc
en on met en facteur,
tend vers , tend vers donc le produit vers
Peu nous chaut du 1
Je reviens vers 17 :30
Re,
je l'avais calculé sur ma feuille, j'ai omis de le noter
j'ai trouvé entre 1,8 et 1,9
1,81,9 car noté 10-1
la fonction Q(x) est croissante [1 ;] et décroissante sur [; + [
MERCI
Non il ne faut pas confondre signe et sens de variation
vous avez dit que la fonction était strictement décroissante sur
Là on vous demande le signe c'est en symboles ou
J'aurais plutôt écrit
Pour tout est strictement positif et pour tout est strictement négatif
Question 2 ?
Re,
oui c'est en effet plus correct
question 2) a)
f(x)=lnx/(1+x)² forme u/v donc numérateur 1/x*(1+x)²-(lnx*2x) dénominateur (1+x²)²
je multiplie par x le numérateur et le dénominateur
donc j'obtiens (1+x²-2x²lnx)/x(1+x²)² ce qui donne bien f '(x)=Q(x)/x(1+x²)²
b)
x 1 +
f '(x) + 0 -
f(x) 1 flèche descendante
mais j'avoue que là je suis perdue
donc je ne vais pas plus loin
MERCI
Pour tout par conséquent le signe de est celui de Q(x)
Que pouvez-vous en déduire pour le sens de variation de ?
Re,
donc pour
f(x) 1 flèche montante flèche descendante
-infini - infini
mais je ne sais pas quoi mettre en dessous de
je n'y arrive pas
MERCI
Re,
ok donc f(= 1/2²
Bon je vais arrêter là l'exercice pour aujourd'hui car mes parents m'appellent.
Bon réveillon.
Je reprendrai demain ou samedi matin
MERCI et bonne fin d'année
Vous pouvez en utilisant ce que je vous avais montré sur un poste du 27 décembre
fonction dérivée signe
étant une valeur qui annule la dérivée
Bonne fin d'année
Bon courage pour le bac et parcours sup
Bonjour
et tout d'abord bonne année 2021 à vous tous surtout la santé en cette période.
hekla :je viens de voir ce que tu m'as mis c'est ok
donc tableau de variation
x 1 +
f ' (x) + 0 -
f(x) 0 1/2²
-flèche montante flèche descendant -
c) démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle [1 : + [,0f(x)ln(x)/x²
je ne comprend pas car pour f(1) on avait 0
et si j'essaye f(2) je trouve l'inverse lnx/x² est plus grand que f(x) ce qui me semblait logique vu que l'on divise par 1 en plus. Je ne comprend pas
pour f(1) on avait 0 donc ne peut être plus grand que 0
j'avoue que là je suis perdue
MERCI
Re,
en vérifiant sur ma calculatrice je crois savoir ce qui me pose problème car tu as écrit post d'hier à 18 h 23
f(1)=ln1/1+1² = 0 et ce n'est pas 0 mais 1
donc ce qui fait que dans le tableau au-dessus pour f(x) ce n'est pas 0 mais 1
donc pour x=0 je trouve f(1)=1 et pour ln/x² avec x=0 je trouve 0
ce qui me donne bien
0f(x)ln(x)/x²
est-ce suffisant pour le démontrer ?
MERCI
Re,
et la dernière question est : en déduire la limite f(x) quand x tend vers +
x² tend vers +
lnx tend vers +
donc lnx/1+x²=+/+= +
MERCI
Bonjour
Bonne année
Que vient faire à côté de flèche montante ?
On a donc
Si par conséquent si
L'écriture est surprenante on ne met pas des inégalités de sens contraire ensemble on écrirait plutôt
N'y a-t-il pas un problème d'inégalité ? Ne serait-ce pas
En effet
par conséquent
Ce qui permet de coincer
Qu'est-ce que vous racontez ?
Votre fonction n'est pas définie en 0 mais seulement à partir de 1 on a bien
n'a pas de sens
fait partie des formes indéterminées
Re,
le - à côté de la flèche c'est une erreur
non c'est bien ça dans l'énoncé
oui erreur de ma part ce n'est pas 0 mais 1
tableau de variation
x 1 +
f ' (x) + 0 -
f(x) 1 1/2² -
flèche montante flèche descendante
sur ma calculatrice en mettant des valeurs à x
soit x=1 f(x) = 1 ln/x² = 0
2 4,69 0,1732
3 10,1 0,122
donc on a bien 0f(x)ln(x)/x²
MERCI
Re,
sur ma calculatrice j'ai mis les 2 fonctions
et je n'obtiens pas comme vous
fonction 1 f(x)= ln(x)/1+x² et l'autre ln(x)/x²
les résultats sont ceux que j'ai mis
MERCI
Avez-vous pensé aux parenthèses ? D'après votre écriture non
pour le premier vous calculez pour le second pas d'ambiguïté
donc nous avons les mêmes résultats
Re,
oui en effet j'ai oublié de mettre les paranthéses
en effet je retrouve comme toi
alors que faut-il que je pense que que c'est un sujet de bac
MERCI
On a montré que
On sait, croissance comparée,
la limite de en est 0 il faudrait préciser la justification
Re,
ah ! ok
pour la limite je ne comprend pas ce que tu notes
si je fais la limite en + j'ai pour x² tend vers +
et lnx = +
x+
donc par quotient lnx/(1+x²) tend vers +
est- ce ?
est une forme indéterminée tous les résultats sont possibles
on peut très bien avoir une limite finie, 0 ou
On vous a demandé de montrer que était compris entre 0 et une fonction qui tendait vers 0 à l'infini
par conséquent il n'y a guère d'autres possibilités que de tendre vers 0
théorème « des gendarmes »
Re,
je ne comprend toujours pas
la question est
d) en déduire la limite de f(x) quand x tend vers +
ok pour lim ln(x)/x² =0 croissances comparées
x
MERCI
On vous a fait déterminer un encadrement de pour tout
en utilisant les théorèmes sur les croissances comparées vous montrez que est compris entre 0 et quelque chose qui tend vers 0 lorsque tend vers
par conséquent va tendre vers 0 quand x tend vers
c'est cet encadrement qui permet d'affirmer que la limite est bien 0 en c'est une application du théorème « des gendarmes »
Précisez ce que vous ne comprenez pas
Il y avait encore une suite mais elle concernait une intégration par parties que vous n'avez pas vue et qui ne doit plus être au programme
De rien
Si vous avez des questions il ne faut pas hésiter
Re,
moi sur l'exercice que j'avais il n'y avait pas de suite.
Non nous n'avons pas vu l'intégration donc je ne sais pas si ça fait partie encore du programme.
Par contre, je viens de regarder mieux et ça m'a permet de mieux comprendre pour le théorème des gendarmes et les théorèmes sur les croissances comparées
Un grand M E R C I A plus
C'était pour vous dire que le sujet du bac était un peu plus long que celui que vous avez eu donc celui que vous aurez sera peut-être plus long.
Si vous avez compris c'est parfait
De rien
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