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fonction log népérien

Posté par
Nelcar
31-12-20 à 12:00

Bonjour,
j'ai trouvé cet exercice (j'essaye de m'entrainer) mais je n'ai pas de résultat donc je vais essayer :

Soit  la fonction définie sur l'intervalle [1; +[ par:

(x) = 1 + x² - 2x²Ln(x)

1) a. Etudier le sens de variation de la fonction que l'intervalle [1; +[

   b. Calculer Q(e). Démontrer que l'équation (x) = 0 admet une unique solution  dans l'intervalle [1;e] à 10-1.

   c. Déterminer le signe de (x) suivant les valeurs de x.

2) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [1;+[ par:

                f(x)= Ln(x)/1+x²
a. Calculer f'(x) et montrer que pour tout x1, on a:


                f'(x)= (x) / x(1+x²)²

b. En déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction f sur [1;+[

c. Démontrer que pour tout x appartenant a l'intervalle [1; +[, 0 f(x)  Ln(x) / x²

d. En déduire la limite de f(x) quand x tend vers +.

Comme j'ai pas mal de difficulté je commence par étape

1)a) pour faire le tableau de variation je calcule la dérivée
Q '(x)= -4xlnx

x               1                                                 + infini
Q'(x)      0                       -
Q            2  Flèche descendante - infini

b) Q(e)=1+e²-2e²ln(e) = on sait que ln(e)=1 donc 1+e²-2e²=1-e²  pas sûr de moi savoir si il y a une suite ou pas
c) la fonction Q(x) est croissante [1 ;] et décroissante sur [; + )

Je m'arrête là pour l'instant

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 12:13

Bonjour

La dérivée est fausse

Q(x)=1+x^2-2x^2\ln x

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées  et 2x^2\ln x est de la forme uv

Posté par
carita
re : fonction log népérien 31-12-20 à 12:17

bonjour

1a) ok
b) quel est le signe de Q(e) ?
c) contredit ton tableau de variation

Posté par
carita
re : fonction log népérien 31-12-20 à 12:18

oups collision
bonjour hekla, je vous laisse.
bonne journée à tous deux

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 31-12-20 à 12:56

Bonjour,
je ne comprend pas
Hekla me dit que ma dérivée est fausse et
carita me dit que c'est ok
?
Hekla j'ai bien fait pour 2x²ln(x) la dérivée de la forme de uv soit u'v+uv'

b) Q(e)=1+[/rouge]e²-2e²ln(e) = on sait que ln(e)=1 donc 1+e²-2e²=1-e²  pas sûr de moi savoir si il y a une suite ou pas
c) la fonction Q(x) est croissante [1 ;] et décroissante sur [; + )

Carita tu mets quel est le signe de Q(e) je ne sais pas (j'ai 1-e² je dois prendre quel signe  1 ou -e² ? mais un carré est toujours positif car le signe est croissant
j'avoue que là je suis perdue
d'après ma calculatrice j'ai bien Q(x)= croissante  puis décroissante

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 13:22

Q(x)=1+x^2-2x^2\ln  x

 Q'(x)= 0+2x-4x\ln x-\dfrac{2x^2}{x}

  au temps pour moi

fonction log népérien

Q(\text{e})= 1+\text{e}^2-2\text{e}^2=1-\text{e}^2\approx -6,38

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 31-12-20 à 13:45

Re,
hekla : oui pour Q ' mais j'ai simplifié après et j'ai donc -4xlnx
ici on disait la fonction définie sur l'intervalle [1; +[ voilà pourquoi je n'ai pas mis le 0 dans mon tableau
moi j'ai

x               1                                                 + infini
Q'(x)        0                       -
Q             2  Flèche descendante                 - infini

j'ai trouvé comme toi pour Q(e)=1-e²  mais je n'arrive pas à trouver la valeur. Comment fais-tu ? je rentre ceci dans ma calculatrice et ça ne veut pas

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 13:55

Pour la dérivée on est bien d'accord  je n'avais pas simplifié car c'était le même résultat

J'ai oublié l'ensemble de définition  sans doute pour vous évitez de calculer la limite en 0

La valeur n'a pas d'importance  ce que l'on voulait  c'était son signe  et on peut facilement

l'obtenir  car \text{e}>1

donc  \text{e}^2>1 et  1-\text{e}<0

Quelle calculatrice  ?  En tapant

1 - e^(   1  )  ^  2

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 13:56

éviter

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 13:57

car \text{e}>1

donc \text{e}^2>1 et 1-\text{e}^2<0

correction de moult erreurs

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 31-12-20 à 14:13

Re,
j'allais justement te mettre que j'avais trouvé ton résultat. Je faisais une énorme erreur.
donc j'ai bien Q(e) = environ -6,39
Que dois-je faire encore dans cette première partie ?
Comme j'ai du mal avec les limites si tu peux me les donner pour 1 et - infini
moi je trouve lim pour 1 je trouve lim Q(x)=1
et pour lim tend vers + infini je trouve Q(x)= + infini

MERCI
je vais essayer de continuer
2) a) pour f(x)=ln(x)/(1+x²)  je calcule f '(x)= forme u/x= (1/x*(1+x)²-2xln(x)/(1+x)² je multiplie le numérateur par x pour retrouver le même dénominateur que l'énoncé et je trouve
au numérateur 1+x²-2x²ln(x) ce qui me donne bien la fonction Q(x) donc on peut affirmer que
f '(x)= Q(x)/x(1+x²)²
b) x(1+x²)² >0 pour x [1 ; + infini[
f'(x) a le même signe que Q(x) f '(x)<0  et f(x) est décroissant  sur l'intervalle [1 : + infini[

JE M'arrête là pour l'instant

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 14:27

Après le calcul de Q(\text{e})  vous avez tout  ce qu'il faut pour utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
et ainsi prouver l'existence de l'unique solution de f(x)=0

il faudra lui donner un nom  Vous avez avalé quelques morceaux de texte

maintenant écrivez le signe de Q(x)

  Quant aux limites en 1 la fonction est définie donc Q(1)
en +\infty  on met  x^2 en facteur,  Q(x)=1+x^2(1-2\ln x)

 x^2 tend vers +\infty,  1-2\ln x tend vers -\infty donc le produit vers -\infty

Peu nous chaut du 1


Je reviens vers 17 :30

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 31-12-20 à 14:42

Re,
je l'avais calculé sur ma feuille, j'ai omis de le noter
j'ai trouvé entre 1,8 et 1,9
1,81,9  car noté 10-1


la fonction Q(x) est croissante [1 ;] et décroissante sur [; + [

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 16:35

Non  il ne faut pas confondre  signe et sens de variation

vous avez dit que la fonction était strictement décroissante sur [1~;~+\infty[

Là on vous demande le signe   c'est  en symboles  + ou  -

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 31-12-20 à 16:53

Re,
c'est vrai que je confond souvent les deux.
de [1 ;] j'ai + et de [:+[j'ai -

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 16:57

J'aurais plutôt écrit  
Pour tout x \in [1~;~\alpha[ ,\  \ Q(x) est strictement positif et  pour tout x\in]\alpha~;~+\infty[,\  Q(x) est strictement négatif

Question 2  ?

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 31-12-20 à 17:48

Re,
oui c'est en effet plus correct
question 2) a)
f(x)=lnx/(1+x)²  forme u/v donc numérateur 1/x*(1+x)²-(lnx*2x) dénominateur (1+x²)²
je multiplie par x le numérateur et le dénominateur
donc j'obtiens (1+x²-2x²lnx)/x(1+x²)²  ce qui donne bien f '(x)=Q(x)/x(1+x²)²
b)    
          x             1                           +
f '(x)                         +               0                      -
f(x)                   1   flèche  descendante

mais j'avoue que là je suis perdue

donc je ne vais pas plus loin

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 17:58

f'(x)= \dfrac{Q(x)}{x(1+x^2)^2}

Pour tout x \in [1~;~+\infty[, \ x(1+x^2)^2 >0 par conséquent le signe de f'(x) est celui de Q(x)

fonction log népérien


Que pouvez-vous en déduire pour le sens de variation de f ?

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 31-12-20 à 18:09

Re,
donc pour
f(x)  1   flèche montante           flèche descendante
       -infini                                                        - infini
mais je ne sais pas quoi mettre en dessous de
je n'y arrive pas

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 18:23

f(x)=\dfrac{\ln x}{1+x^2}

 f(1)=\dfrac{\ln 1}{1+1^2}=0

La fonction est définie en 1 donc la limite en 1 est f(1)

f(\alpha)=\dfrac{\ln \alpha}{1+\alpha^2} mais  1+\alpha ^2-2\alpha^2 \ln\alpha =0

donc 1+\alpha ^2=2\alpha^2\ln \alpha

je vous laisse simplifier f(\alpha)=\dfrac{\ln \alpha}{2\alpha^2\ln \alpha}

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 31-12-20 à 19:57

Re,
ok donc f(= 1/2²

Bon je vais arrêter là l'exercice pour aujourd'hui car mes parents m'appellent.

Bon réveillon.

Je reprendrai demain ou samedi matin

MERCI et bonne fin d'année

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 31-12-20 à 20:09

Vous pouvez en utilisant ce que je vous avais montré sur un poste du 27  décembre
fonction dérivée signe

 f(\alpha)=\dfrac{u'(\alpha)}{v'(\alpha)}

f(\alpha)=\dfrac{\frac{1}{\alpha}}{2\alpha}= \dfrac{1}{2\alpha^2}

\alpha étant une valeur qui annule la dérivée

Bonne fin d'année  

Bon courage pour le bac et parcours sup

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 10:27

Bonjour
et tout d'abord bonne année 2021 à vous tous surtout la santé en cette période.

hekla :je viens de voir ce que tu m'as mis c'est ok
donc tableau de variation

x                   1                                                                   +

f ' (x)                      +                   0                      -

f(x)              0                             1/2²      
                  -flèche montante                  flèche descendant   -

c) démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle [1 : + [,0f(x)ln(x)/x²
je ne comprend pas car pour f(1) on avait 0
et si j'essaye f(2) je trouve l'inverse lnx/x² est plus grand que f(x) ce qui me semblait logique vu que l'on divise  par 1 en plus. Je ne comprend pas
pour f(1) on avait 0 donc ne peut être plus grand que 0
j'avoue que là je suis perdue

MERCI
  

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 10:41

Re,
en vérifiant sur ma calculatrice je crois savoir ce qui me pose problème car tu as écrit post d'hier à 18 h 23

f(1)=ln1/1+1² = 0 et ce n'est pas 0 mais 1
donc ce qui fait que dans le tableau au-dessus pour f(x) ce n'est pas 0 mais 1
donc pour x=0 je trouve f(1)=1 et pour ln/x² avec x=0 je trouve 0
ce qui me donne bien
0f(x)ln(x)/x²
est-ce suffisant pour le démontrer ?

MERCI

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 10:47

Re,
et la dernière question est : en déduire la limite f(x) quand x tend vers +
x² tend vers +
lnx tend vers +
donc lnx/1+x²=+/+= +

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 10:58

Bonjour
Bonne année

Que vient faire -\infty à côté de flèche montante  ?

On a f(1)=0 donc \displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=0

Si x\geqslant 1,  \quad \ln x\geqslant 0 \quad 1+x^2 >0 par conséquent  si x\in [1~;~+\infty[ f(x)\geqslant 0

L'écriture est surprenante on ne met pas  des inégalités de sens contraire ensemble  on écrirait plutôt

\begin{cases} f(x) \geqslant 0\\ f(x)\geqslant\dfrac{\ln x}{x^2}\end{cases}

N'y a-t-il pas un problème  d'inégalité ? Ne serait-ce pas f(x)\leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}

En effet  x^2 \leqslant 1+x^2  \quad \dfrac{1}{x^2}\geqslant \dfrac{1}{x^2+1}\qquad \dfrac{\ln x}{x^2}\geqslant \dfrac{\ln x}{x^2+1}

par conséquent f(x)\leqslant \dfrac{\ln x}{1+x^2}

Ce qui permet de coincer  f(x)

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 11:05

Qu'est-ce que vous racontez ?

Votre fonction n'est pas définie en 0  mais seulement à partir de 1  on a bien f(1)=0

fonction log népérien

f(0) n'a pas de sens

\dfrac{\infty}{\infty} fait partie des formes indéterminées

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 11:59

Re,
le - à côté de la flèche c'est une erreur
non c'est bien ça dans l'énoncé
oui erreur de ma part ce n'est pas 0 mais 1

tableau de variation

x                   1                                                                   +

f ' (x)                      +                   0                      -

f(x)              1                             1/2²                                 -
                  flèche montante                          flèche descendante          

sur ma calculatrice en mettant des valeurs à x
soit x=1       f(x) = 1            ln/x² =  0
           2                 4,69                   0,1732        
           3                10,1                    0,122

donc on a bien 0f(x)ln(x)/x²

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 12:18

Comment avez-vous calculé vos valeurs  ? J'obtiens ceci et f(x) est bien inférieur à \dfrac{\ln x}{x^2}

fonction log népérien

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 13:27

Re,
sur ma calculatrice j'ai mis les 2  fonctions
et je n'obtiens pas comme vous
fonction 1 f(x)= ln(x)/1+x² et l'autre ln(x)/x²

les résultats sont ceux que j'ai mis

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 13:39

Avez-vous pensé aux parenthèses  ? D'après votre écriture non

pour le premier vous calculez \dfrac{\ ln x}{1}+x^2 pour le second pas d'ambiguïté

donc nous avons les mêmes résultats

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 14:23

Re,
oui en effet j'ai oublié de mettre les paranthéses
en effet je retrouve comme toi
alors que faut-il que je pense que que c'est un sujet de bac

MERCI

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 14:26

don on a
f(x)xln/x²

MERCI et que faire ?

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 14:53

On a montré que  0\leqslant\dfrac{1}{\alpha^2}\leqslant f(x)\leqslant  \dfrac{\ln x}{x^2}

On sait,  croissance comparée, \displaystyle  \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0

la limite  de f en +\infty est 0  il faudrait préciser la justification

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 15:02

En prenant le texte sur le site de l'APM il y a bien une erreur dans votre texte  c'est bien  

0\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 15:32

Re,
ah ! ok
pour la limite je ne comprend pas ce que tu notes
si je fais la limite en + j'ai pour x² tend vers +
et lnx      =    +
x+
donc par quotient lnx/(1+x²) tend vers +

est- ce ?

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 15:47

\dfrac{\infty}{\infty} est une forme indéterminée  tous les résultats sont possibles

on peut très bien avoir une limite finie, 0 ou \pm\infty  

On vous a demandé de montrer que f(x) était compris entre 0 et une fonction qui tendait vers 0 à l'infini
par conséquent  il n'y a guère d'autres possibilités que de tendre vers 0  

théorème « des gendarmes »

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 16:00

Re,
je ne comprend toujours pas
la question est
d) en déduire la limite de f(x) quand x tend vers +
ok pour lim ln(x)/x² =0 croissances comparées
                x
MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 16:16

On vous a fait déterminer un encadrement de f(x) pour tout x\in [1~;~+\infty[

en utilisant les théorèmes sur les croissances comparées  vous montrez que f(x) est compris entre 0 et quelque chose qui tend vers 0 lorsque x tend vers +\infty
par conséquent f(x) va tendre vers 0 quand x tend vers +\infty

c'est cet encadrement qui permet d'affirmer que la limite est bien 0 en +\infty c'est une application du théorème « des gendarmes »

Précisez ce que vous ne comprenez pas

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 19:50

Re,

OK merci beaucoup. Je vais revoir ce théorème.

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 20:11

Il y avait encore une suite mais elle concernait une intégration par parties  que vous n'avez pas vue et qui ne doit plus être au programme

De rien

Si vous avez des questions il ne faut pas hésiter

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 01-01-21 à 20:17

Re,
moi sur l'exercice que j'avais il n'y avait pas de suite.
Non nous n'avons pas vu l'intégration donc je ne sais pas si ça fait partie encore du programme.
Par contre, je viens de regarder mieux et ça m'a permet de mieux comprendre pour le théorème des gendarmes et les théorèmes sur les croissances comparées

Un grand M E R C I  A plus

Posté par
hekla
re : fonction log népérien 01-01-21 à 22:35

C'était pour vous dire que le sujet du bac était un peu plus long que celui que vous avez eu donc celui que vous aurez sera peut-être plus long.

Si vous avez compris c'est parfait

De rien

Posté par
Nelcar
re : fonction log népérien 02-01-21 à 10:35

Bonjour,
ok merci
j'ai vu des sujets avec à la suite des questions sur les suites arithmétiques et géométriques mais pas encore vu, j'ai peur de ne pas avoir tout vu avant l'examen.

Merci et à plus



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