A)
1)
g(x)=x-ln(x)
Df:  ]0 ; oo[

g'(x) = 1 - (1/x)
g'(x) = (x-1)/x

g'(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ -> g(x) est décroissante.
g'(x) = 0 pour x = 1
g'(x) > 0 pour x dans ]1 ; oo[ -> g(x) est croissante.

Il y a un minimum de g(x) pour x = 1, ce min vaut f(1) = 1
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2)
De l'étude précédente, on conclut que:
pour tout x de ]0 ; oo[,on a g(x) >= à 1
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B)
1)
Pour x dans ]0 ; oo[, x - ln(x) n'est jamais nul et ln(x) existe ->
f est bien definie sur ]0 ; oo[
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2)
lim(x-> 0+) f(x) =  lim(x-> 0+) [lnx/(x-lnx)] = lim(x-> 0+) [1/((x/lnx)-1)] = 1/(0-1) = -1
lim(x-> oo) f(x) =  lim(x-> oo) [lnx/(x-lnx)] = lim(x-> oo) [1/((x/lnx)-1)] = 1/oo = 0
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3)
f '(x) = ((1/x)(x-ln(x))-(1-(1/x))ln(x))/(x-lnx)²
f '(x) = (1 - (lnx)/x - ln(x) + (lnx)/x)/(x-lnx)²
f '(x) = (1 - ln(x))/(x-lnx)²

(x-lnx)² > 0 (à cause du carré) -> f '(x) a le signe de 1 - ln(x)

f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; e[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = e
f '(x) < 0 pour x dans ]e ; oo[ -> f(x) est décroissante.

Il y a un max de f(x) pour x = e, ce max vaut f(e) = 1/(e-1)
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4)
coeff directeur de le droite (AM) = (f(x) + 1)/x
= ((lnx/(x-lnx)) + 1)/x
= (lnx+x-lnx)/(x(x-lnx))
= 1/(x-ln(x))

lim(x->0+) [coeff dir(AB)] = 1/(0+oo) = 0

Cela veut dire que la droite (AM) se rapproche d'une parallèle à l'axe des abscisses lorsque x -> oo
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Sauf distraction.  

merci beaucoup