Pour la limite en + :
on a une forme indéterminée, pour lever cette indétermination, on factorise
l'expression par ln x :
(j'appelle f(x) cette expression)

(2 ln x)² - 2 ln x + x ln x
= ln x(4 ln x - 2 + x)

lim ln x = +
lim (4 ln x - 2 + x) = +

Donc :
lim f(x) = +


Voilà quelques explications pour le calcul de la limite.
Bon courage ...

f(x) = ln x.(4 ln x - 2 + x)

f '(x) = (1/x).((4 ln x - 2 + x) + lnx .((4/x) + 1)
f '(x) = (8.lnx)/x - (2/x) + 1 + ln(x)
f '(x) = lnx (1 + (8/x)) + 1 - (2/x)
f '(x) = lnx (x + 8)/x  + (x - 2)/x
f '(x) = (x - 2 + (x + 8).lnx) /x

f ''(x) = (x.(1 + (lnx + (x+8)/x )) - x + 2 - (x+8).ln(x))/x²
f ''(x) = (x + xlnx + (x+8) - x + 2 - (x+8).ln(x))/x²
f ''(x) = (xlnx + x+ 10 - x.lnx - 8lnx)/x²
f ''(x) = (x + 10 - 8lnx)/x²

f ''(x) a le signe de g(x) = x + 10 - 8.lnx
g '(x) = 1 - 8/x
g '(x) < 0 pour x dans [1/2 ; 8[ -> g(x) décroissante.
g '(x) = 0 pour x = 8
g'(x) > 0 pour x dans ]8 ; oo[

g(x) est min pour x = 8
g(8) = 1,36... > 0
et donc g(x) > 0 pour x dans [1/2 ; oo[
-> f ''(x) > 0 pour x dans [1/2 ; oo[ -> f '(x) est croissante.

f '(1/2) < 0
lim(x-> oo)  f '(x) = oo
Il y a donc une et une seule valeur de x sur [1/2 ; oo[ qui annule f
'(x)

f '(x) = (x - 2 + (x + 8).lnx) /x = 0 pour  x - 2 + (x + 8).lnx
= 0
On trouve cette valeur de x par approximations successives. Soit x =
1,1034...

On a donc:
f '(x) < 0 pour x dans [1/2 ; 1,1034...[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 1,1034...
f '(x) > 0 pour x dans [1,1034... ; oo[ -> f(x) croissante.

Il y a un minimum de f(x) pour x = 1,1034...
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Sauf distraction.

ok merci bien je vous remerci .