Bonjour,
Voila je poste un sujet sur lequel je rencontre quelques difficultés, je posterai au fur et a mesure mes réponses, merci de votre aide.
On étudie la fonction f définie par f(x) = sur l'intervalle (1 ; +oo( dont (C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé
1) Soit g la fonction définie sur (1 ; +oo( par g(x) =
montrer que pour tout x E (1 ; +oo(, f'(x) = est bien la dérivée de la fonction f.
2) Montrer que la fonction g est positive sur (1 ; +oo(. En déduire le sens de variation de la fonction f sur (1 ; +oo(
3) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C) de la fonction f au point d'abscisse x=2
4)
a)Etudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D) d'équation y=2x
b)Que peut-on dire du comportement asymptotique en +oo de la courbe (C) vis-a-vis de la droite (D) ? Justifier
5) Quelle est la primitive de la fonction f qui s'annule en x=1 ?
NB : on peut remarquer que x ---> est une primitive de x--->
6) En déduire la valeur de l'intégrale
7) Quelle est la limite en +oo de la fonction f ? Justifier
alors pour la première question,
f'(x) : j'ai "découpé" la fonction en deux
2x ---> 2 et ensuite j'ai utilisé cette formule :
avec :
ce qui donne :
2) x^2 >1 ; et ln x > 0 donc g(x) = 2x^2 -1 +ln x >0
J'en déduis que f'(x) = g(x)/x^2 > 0 donc la fonction f est croissante sur )1;+oo(
3)
la formule de la tangente est :
Y=f'(a)(x-a)+f(a)
je remplace donc :
Y=f'(2)(x-2)+f(2)
je trouve :
ce qui donne :
je bloque ici, je dois développer f'(2) avec -2 et ensuite additionner soustraire avec les termes qui restent.
Cependant je suis bloqué au développement
bon avant de poster plus de réponse, je vais attendre qu'une âme charitable me corrige les 3 premières
Pour la question 4 je fais ceci :
h(x) = f(x)-y
c-a-d :
h(x)<0 donc la courbe (C) est en dessous de la droite (D)
4)b°
h(x)=f(x)-y
lim h(x) = 0
x-->+oo
donc j'en déduis que la droite (D) est une asymptote oblique de la courbe (C)
Question 4b. Mais tu as raison ; j'avais fait une confusion entre la tangente et la droite d'équation y = 2x .
donc on est d'accord c'est bien une asymptote oblique ?
car dans le corrigé il parlait d'une asymptote verticale (je suis en reprise d'étude)
Bon pour la 5 c'était plus ou moins donné ...
cependant petite question car si la formule n'avait pas été donnée dans le cours, je pense que je n'aurai pas su trouver la primitive,
elle est donc à apprendre par coeur ?
et deuxième question je n'ai pas bien compris le faite qu'elle s'annule en x=1
4)b : oui, la droite (D) est bien une asymptote oblique.
La courbe admet aussi une asymptote verticale, mais l'énoncé ne la mentionne pas.
et pour la 7)
j'ai repris le faite que vu que lnx/x tend vers 0
il reste 2x qui tend vers +oo en +oo
donc f(x) tend vers +oo en +oo
par rapport à cette histoire d'asymptote verticale (pour voir si j'ai bien compris)
il faudrait pour le démontrer, montrer que quand la fonction f tend vers +oo quand x tend vers 0 ?
6) et 7) : d'accord.
Quand x tend vers 0, (lnx)/x a pour limite - oo , de sorte que celle de f(x) est + oo ; ainsi, l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
par contre je n'ai pas comprise faite qu'elle s'annule en x=1
car la correction officielle ajoutait ceci pour cette question :
Une primitive de f est :
et celle qui s'annule en x= 1 est
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