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fonction logarithme

Posté par
ozpacker 12-12-19 à 22:08

Bonjour,

Voila je poste un sujet sur lequel je rencontre quelques difficultés, je posterai au fur et a mesure mes réponses, merci de votre aide.

On étudie la fonction f définie par f(x) = 2x - \frac{ln x}{x} sur l'intervalle (1 ; +oo( dont (C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé

1) Soit g la fonction définie sur (1 ; +oo( par g(x) = 2x^{2}-1 + lux

montrer que pour tout x E (1 ; +oo(, f'(x) = \frac{g(x)}{x^{2}} est bien la dérivée de la fonction f.

2) Montrer que la fonction g est positive sur (1 ; +oo(. En déduire le sens de variation de la fonction f sur (1 ; +oo(

3) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C) de la fonction f au point d'abscisse x=2

4)
a)Etudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D) d'équation y=2x
b)Que peut-on dire du comportement asymptotique en +oo de la courbe (C) vis-a-vis de la droite (D) ? Justifier

5) Quelle est la primitive de la fonction f qui s'annule en x=1 ?

NB : on peut remarquer que x ---> \frac{(lnx)^{2}}{2} est une primitive de x---> \frac{ln x}{x}


6) En déduire la valeur de l'intégrale I = \int_{1}^2{f(x)dx}{}

7) Quelle est la limite en +oo de la fonction f ? Justifier

Posté par
philgr22re : fonction logarithme 12-12-19 à 22:10

Bonsoir,
Où en es tu?

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 12-12-19 à 22:18

alors pour la première question,

f'(x) : j'ai "découpé" la fonction en deux

2x ---> 2 et ensuite j'ai utilisé cette formule :

(\frac{u}{v})'

avec :

u=lnx
u'=\frac{1}{x}
v=x
v'=1


ce qui donne :

f'(x) = 2 \frac{-(\frac{1}{x})(x)-(lnx)(1)}{x^{2}}
f'(x) = 2 - \frac{1-lnx}{x^{2}}
f'(x) =\frac{2x^{2}-1+lnx}{x^{2}}

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 12-12-19 à 22:31

je reprends demain, je fais une pause pour ce soir, merci d'avance et à demain

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 12:53

2) x^2 >1 ; et ln x > 0 donc g(x) = 2x^2 -1 +ln x >0

J'en déduis que f'(x) = g(x)/x^2 > 0 donc la fonction f est croissante sur )1;+oo(

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 13:14

3)

la formule de la tangente est :

Y=f'(a)(x-a)+f(a)

je remplace donc :

Y=f'(2)(x-2)+f(2)


je trouve :
f'(2)=\frac{7+ln2}{4}
f(2)=4-\frac{ln2}{2}

ce qui donne :

y= \frac{7+ln2}{4}(x-2)+4-\frac{ln2}{2}
y= \frac{7+ln2}{4}x...


je bloque ici, je dois développer f'(2) avec -2 et ensuite additionner soustraire avec les termes qui restent.
Cependant je suis bloqué au développement

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 13:22

bon... Je me suis lancé et voici ce que je trouve,

y=\frac{7+ln2}{4}x\frac{-14-2ln2}{4}+\frac{16}{4}-\frac{2ln2}{4}
y=\frac{7+ln2}{4}x+\frac{2-4ln2}{4}

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 13:23

bon avant de poster plus de réponse, je vais attendre qu'une âme charitable me corrige les 3 premières

Posté par
Priamre : fonction logarithme 13-12-19 à 15:14

Tout cela me paraît bon.

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 15:43

Pour la question 4 je fais ceci :

h(x) = f(x)-y

c-a-d :

h(x)=2x-\frac{lnx}{x}-2x
h(x)=-\frac{lnx}{x}

h(x)<0 donc la courbe (C) est en dessous de la droite (D)

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 15:46

4)b°
h(x)=f(x)-y

lim h(x) = 0
x-->+oo

donc j'en déduis que la droite (D) est une asymptote oblique de la courbe (C)

Posté par
Priamre : fonction logarithme 13-12-19 à 15:49

Cela ne serait-il pas plutôt le contraire ?

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 15:51

pour quelle réponse ? j'ai tracé la courbe, et la courbe de C est bien en dessous la droite D

Posté par
Priamre : fonction logarithme 13-12-19 à 15:57

Question 4b. Mais tu as raison ; j'avais fait une confusion entre la tangente et la droite d'équation  y = 2x .

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 15:59

donc on est d'accord c'est bien une asymptote oblique ?
car dans le corrigé il parlait d'une asymptote verticale (je suis en reprise d'étude)

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 16:06

Bon pour la 5 c'était plus ou moins donné ...
F(x)= x^2 - \frac{(lnx)^2}{2}


cependant petite question car si la formule n'avait pas été donnée dans le cours, je pense que je n'aurai pas su trouver la primitive,

elle est donc à apprendre par coeur ?

et deuxième question je n'ai pas bien compris le faite qu'elle s'annule en x=1

Posté par
Priamre : fonction logarithme 13-12-19 à 16:06

4)b : oui, la droite (D) est bien une asymptote oblique.
La courbe admet aussi une asymptote verticale, mais l'énoncé ne la mentionne pas.

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 16:12

pour l'intégrale j'ai ceci :

I=\int_{1}^2{f(x)dx}{=F(2)-F(1)}
I=2^{2}-\frac{(ln2)^{2}}{2}-1^{2}-\frac{(ln1)^{1}}{1}
I=4-\frac{(ln2)^{2}}{2}-1
I=3-\frac{(ln2)^{2}}{2}

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 16:14

et pour la 7)

j'ai repris le faite que vu que lnx/x tend vers 0
il reste 2x qui tend vers +oo en +oo

donc f(x) tend vers +oo en +oo

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 13-12-19 à 16:16

par rapport à cette histoire d'asymptote verticale (pour voir si j'ai bien compris)
il faudrait pour le démontrer, montrer que quand la fonction f tend vers +oo quand x tend vers 0 ?

Posté par
Priamre : fonction logarithme 13-12-19 à 17:01

6) et 7) : d'accord.
Quand  x  tend vers 0,  (lnx)/x a pour limite  - oo , de sorte que celle de f(x) est  + oo ; ainsi, l'axe des ordonnées est asymptote verticale.

Posté par
ozpackerre : fonction logarithme 14-12-19 à 10:22

par contre je n'ai pas comprise faite qu'elle s'annule en x=1

car la correction officielle ajoutait ceci pour cette question :

Une primitive de f est : x^2 - \frac{(lnx)^{2}}{2}

et celle qui s'annule en x= 1 est F(x) = x^2 - \frac{(lnx)^{2}}{2}-1

Posté par
Priamre : fonction logarithme 14-12-19 à 11:59

Oui, c'est vrai. Mais ce que je ne comprends pas bien, ce sont les mots " En déduire " de la question 6).


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