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Fonction logarithme

Posté par
Samsco 01-05-20 à 17:09

Bonjour j'ai besoin que vous vérifiez ce que j'ai fait svp

Exercice :

Résoudre les systèmes suivants

a)\left\lbrace\begin{array} l -2\ln x+\ln y=3 \\ 4\ln x-3\ln y=-7 \end{array}

b)\left\lbrace\begin{array} l x²+y²=130 \\ \ln x+\ln y=\ln 63\end{array}

Réponses
a)\left\lbrace\begin{array} l -2\ln x+\ln y=3~~~~(1) \\ 4\ln x-3\ln y=-7~~(2) \end{array}

Contraintes sur les inconnues :
x>0 et y>0

\\ (1)\iff -2\ln x+\ln y=3 \\ ~~~~\iff \ln x^{-2}+\ln y=\ln(e^3) \\ ~~~~\iff \dfrac{y}{x^2}=e^3   \\ \\ (2)\iff 4\ln x-3\ln y=-7 \\ ~~~~\iff \ln(x^4.x^{-3})+\ln(e^7)=\ln 1 \\ ~~~~\iff xe^{7}=1 \\ ~~~~\iff x=1/e^7 \\ \\ ~~~~\iff \left\lbrace\begin{array} l x=1/e^7 \\ y=x^2.e^3=1/e^{11}\end{array}
S={1/e^7~;~1/e^{11} }

Posté par
heklare : Fonction logarithme 01-05-20 à 17:19

Bonjour

Pourquoi ne pas faire un changement de variables  X=\ln x\quad Y=\ln y ?

On trouve alors X=-1 et Y=1 d'où x=\text{e}^{-1}  et  y=\text{e}

Posté par
Samscore : Fonction logarithme 01-05-20 à 17:31

b)Contraintes sur les inconnues :
x>0 et y>0
\left\lbrace\begin{array} l x^2+y^2=130~~(1) \\ \ln x+\ln y=\ln 63~~(2)\end{array}

\\ (2)\iff \ln x+\ln y=\ln 63 \\ ~~~~\iff xy=63 \\ \\ (1)\iff x^2+y^2=130 \\ ~~~~\iff (x+y)^2-2xy=130 \\ ~~~~\iff (x+y)^2=130+2(63) \\ ~~~~\iff x+y=16~~ou~~x+y=-16 \\ \\ Or~x>0~et~y>0 \\ \\ Donx ~x+y=16 \\ \\ \left\lbrace\begin{array} l x+y=16 \\ xy=63 \end{array}~~\iff X^2-16X+63=0 \\
\iff X=9~~ou~~X=7
S={(9~;~7);(7~;~9)}

Posté par
Samscore : Fonction logarithme 01-05-20 à 17:33

hekla @ 01-05-2020 à 17:19

Bonjour

Pourquoi ne pas faire un changement de variables  X=\ln x\quad Y=\ln y ?

On trouve alors X=-1 et Y=1 d'où x=\text{e}^{-1}  et  y=\text{e}

J'ai résolu ça comme on le faisait en 1ere ,vu que j'étudie seul je ne connais les méthodes utilisés en Tle

Posté par
Pirhore : Fonction logarithme 01-05-20 à 17:42

Bonjour à vous 2,

autre piste:

multiplier la 1re par 2 et ensuite ajouter à la 2e
d'où y

Posté par
heklare : Fonction logarithme 01-05-20 à 17:47

Bonjour Pirho

Cela revient à résoudre tranquillement le système  sans passer par la donnée d'un autre nom.

Posté par
Samscore : Fonction logarithme 01-05-20 à 17:50

Pirho @ 01-05-2020 à 17:42

Bonjour à vous 2,

autre piste:

multiplier la 1re par 2 et ensuite ajouter à la 2e
d'où y

Ah d'accord

Posté par
Samscore : Fonction logarithme 01-05-20 à 17:51

hekla @ 01-05-2020 à 17:47

Bonjour Pirho

Cela revient à résoudre tranquillement le système  sans passer par la donnée d'un autre nom.

Vue que vous n'avez pas trouvé le même résultat que moi ,ce que j'ai fait n'est pas correct

Posté par
Pirhore : Fonction logarithme 01-05-20 à 18:05

hekla @ 01-05-2020 à 17:47

Bonjour Pirho

Cela revient à résoudre tranquillement le système  sans passer par la donnée d'un autre nom.
of course!

Posté par
heklare : Fonction logarithme 01-05-20 à 18:10

Qu'est devenu \text{e}^{3}

y=  \text{e}^3 x^2

4\ln x -3\ln y=-7


\dfrac{x^4}{y^3} =\text{e}^{-7}

\dfrac{x^4}{(\text{e}^{3}x^2)^3}=\text{e}^{-7}

\dfrac{(\text{e}^{3}x^2)^3}{x^4}=\text{e}^{7}

\dfrac{\text{e}^{9}x^6}{x^4}=\text{e}^{7}

x^2=\text{e}^{-2}

On arrive bien au même résultat.

Posté par
Pirhore : Fonction logarithme 01-05-20 à 18:16


\\ (2)\iff 4\ln x-3\ln y=-7

\\ ~~~~\iff \ln(x^4.x^{-3})+\ln(e^7) tu as permuté x et y

  

Posté par
Pirhore : Fonction logarithme 01-05-20 à 18:19

je vous laisse !

Posté par
Samscore : Fonction logarithme 01-05-20 à 18:28

[

  
Pirho @ 01-05-2020 à 18:16


\\ (2)\iff 4\ln x-3\ln y=-7

\\ ~~~~\iff \ln(x^4.x^{-3})+\ln(e^7) tu as permuté x et y

  

Je vois

Posté par
Samscore : Fonction logarithme 01-05-20 à 18:30

Donc
Pour a) S={1/e ; e}

Et pour b) ,ce que j'ai fait est bon?

Posté par
heklare : Fonction logarithme 01-05-20 à 18:44

Oui mais il manque les accolades pour l'ensemble solution

Posté par
Samscore : Fonction logarithme 01-05-20 à 18:52

C'est à cause du LaTex
S={(9 ; 7) ; (7 ; 9)}
Est ce qu'il y a une autre méthode pour aller plus vite?

Posté par
heklare : Fonction logarithme 01-05-20 à 19:20

Je ne pense pas.  C'est bien se ramener à un problème déjà connu  : trouver deux nombres dont on connaît la somme et le produit

Posté par
Samscore : Fonction logarithme 01-05-20 à 20:02

D'accord merci !

Posté par
heklare : Fonction logarithme 01-05-20 à 21:07

De rien


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