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Fonction logarithme

Posté par
Bastien006
06-02-22 à 12:48

Bonjour à tous, j'ai un problème sur l'exercice suivant:
Partie A.

Soit g la fonction définie sur  ]0;+ [ par g(x ) = x+2 -xln(x)

1.Etudier la limite de g en chacune des bornes de son domaine de définition.
2.Etudier les variations de g sur ]0;+ [ et construire son tableau de variation.
3.Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution  sur ]0;+ [ et ,avec la calculatrice, donner un encadrement de d'amplitude 10-2 . En déduire le signe de g sur ]0;+ [

Partie B : Etude d'une fonction f

Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x) = \frac{ln(x)}{x+2}

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Montrer que, pour tout réel x>0 f'x) = \frac{g(x)}{x(2+x)²}

2. En utilisant g() = 0 , prouver que f( ) = 1/

3. Etudier la limite de f en chacune des bornes de son domaine de définiton.

4. Construire le tableau de variation de f sur ]0;+ [
A vrai dire je suis bloqué première question j'ai trouvé lim g(x) en 0 = 2 et pour lim g(x) en + l'infini je trouve + l'infini ce qui ne correspond pas à mon tableau de variation
Je suis embêté des conseils ?
Merci d'avance !!

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 12:59

Bonjour

montre comment tu as fait en + l'infini pour ta limite

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 17:45

Du coup
Pour x+2 j'ai dit que ça tendais vers plus l'infini
Et pour xlnx j'ai dit que ça faisait une FI l'infini -linfini et j'ai tout mis sur x et j'ai factorisé ça a donné ça :
x( x/x + 2/x - x/x * lnx /x )
X tend vers l'infini et entre parenthèse ça tend vers 1 donc c'est l'infini * 1 donc plus l'infini

Posté par
Yzz
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 17:47

Salut,

Ta factorisation par x est fausse.

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 18:04

Alors il faudrait que je factorise par quoi ?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 18:09

non, l'idée est bonne (de factoriser par x) , mais revois ta factorisation qui elle est fausse

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 18:16

En fait ça me donnerai
x( x/x + 2/x - xlnx/x)
x tend vers plus l'infini
x/x vers 1
2/x vers 0
Et xlnx/x vers plus l'infini
Hors cela fait moins l'infini puisqu'il y a un signe moins devant et donc moins l'infini x 1 égal moins l'infini et moins l'infini fois plus l'infini ça fait moins l'infini
J'ai bon ?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 18:21

oui, tout à fait (tu simplifieras ton xln(x)/x avant de chercher la limite bien sûr)

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 18:26

Super merci beaucoup de votre aide je vous recontacte si jamais je suis une nouvelle fois bloqué !!

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 18:41

tout à fait, on fait comme ça
bonne suite d'exo

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 19:46

Rebonsoir et excuser moi de vous déranger encore une fois je n'arrive pas du tout à faire le tableau de variation puisque f'(x) est d'abord positive puis négative hors f(x) est croissante et décroissante quand elle est positive je suis perdu à vrai dire

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 19:46

Bastien006 @ 06-02-2022 à 19:46

Rebonsoir et excusez  moi de vous déranger encore une fois je n'arrive pas du tout à faire le tableau de variation puisque f'(x) est d'abord positive puis négative hors f(x) est croissante et décroissante quand elle est positive je suis perdu à vrai dire

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 06-02-22 à 20:01

tu parles du tableau de f ou de g ? (dit autrement, partie A ou partie B) ?

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 07-02-22 à 09:25

Bonjour,
Je parle de la partie A avec g(x) en fait g(x) est croissante jusqu'en 3 puis décroissante jusqu'en moins l'infini mais ça dérive ne dis pas pareil je ne comprend pas !

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 07-02-22 à 09:53

une remarque : ce n'est pas g(x) qui est croissante ou décroissante, mais g, la fonction

ceci dit
montre comment tu as calculé ta dérivée, je ne suis pas sûre qu'elle soit juste, ou alors c'est l'étude de son signe...je ne sais pas tant que tu n'écris pas ici ce que tu as fait

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 07-02-22 à 12:07

J'ai fait donc la dérive de x+2 qui est à égale à 1 puis j'ai vu que xlnx c'était uxv donc tac j'ai dérive et ça me donne ça lnx-1 et donc tout ensemble ça fait 1+lnx-1 soit 2-lnx ou 2+ln(1/x) qui est la même chose

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 07-02-22 à 12:11

écris des égalités
ne raconte pas

chez moi, 1-1 ne fait pas 2

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 07-02-22 à 13:14

G(x)= x+2- xlnx
G'(x)= 1 - (uxv)
G'(x)= 1- (1 x lnx + x x 1/x )
G'(x)= 1- (lnx +1)
G'(x)= 2-lnx
Voilà ce que ça me donne sauf que je n'arrive pas à faire le tableau

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 07-02-22 à 13:25

et le "moins" devant ta parenthèse, tu en fais quoi ?

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 07-02-22 à 13:49

Oh misère !! Je n'y ai pas du tout pensé dcp ça vire les 1 et ça me laisse -lnx ok

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 07-02-22 à 13:50

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 10:40

Bonjour à tous, j'aimerais savoir une chose s'il vous plaît
Je dois donc définir ( Partie A n*3 ) g(x)=0 or 0 n'appartient pas à ]0;+ l'infini[ alors comment je fais ?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 10:44

tu confonds ensemble de départ et ensemble d'arrivée

tu cherches x dans l'ensemble de départ (donc dans ]0;+ l'infini[ ) qui a pour image 0 dans l'ensemble d'arrivée

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 10:54

Alors à quoi correspond l'ensemble d'arrivé ?

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 10:55

J'avoue que je suis confus puisque 0 est une valeur interdite de la fonction g

Posté par
philgr22
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 11:00

Bonjour , en attendant malou
L'ensemble de départ contient les valeurs de x et l'ensemble d'arrivée celles de f(x).

Posté par
philgr22
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 11:02

Pour la question 3 ,tu dois dejà démontrer qu'il existe une solution unique avant de chercher à la calculer.

Posté par
philgr22
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 11:07

philgr22 @ 10-02-2022 à 11:00

Bonjour , en attendant malou
L'ensemble de départ contient les valeurs de x et l'ensemble d'arrivée celles de f(x).

Je parle de g(x) bien sûr.

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 11:14

J'ai trouvé il me semble merci à voulus pour vos réponses et votre rapidité 😁

Posté par
philgr22
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 11:22

D'accord .quel est ton raisonnement?

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 11:26

Hmm j'ai un nouveau problème pour la première question de la partie 2 j'ai bien vu que la formule c'était u'v - uv' /v^2 j'ai fait ça
F'(x) = (1/x * (2+x) - ln(x)*1 ) / (x+2)^2
F'(x)= ((2-x/x) - lnx)/ (x+2)^2
Mais là je suis bloqué scanne que je dois pourvoir mettre un x au dénominateur comment je fais ?

Posté par
philgr22
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 11:36

Pense au resultat auquel tu dois aboutir et met au même denominateur le numerateur de ta dérivée.

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 11:57

Donc ça me donne
F'(x) =( ( x+2- lnx)/x )/ (x+2)^2
Mais là je vois vraiment pas ce que je peux faire pour le coup je peux pas factoriser par x au numérateur et pareil pour le dénominateur

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 11:59

ouvre tes yeux

et la partie A, elle sert à quoi ? relis la...

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 13:12

La partie A me dit que g(x)= 2+x-xlnx et qu'elle est définie sur ]0 ; + l'infini [ sauf que pour mon numérateur j'ai simplement lnx et pas xlnx

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 13:23

ta réduction au même dénominateur n'est pas juste
si tu ne te trompes pas dans ce type d'exo, tu vas faire apparaître la fonction de la 1re partie, dont on t'a demandé d'étudier le signe

vérifie f'(x)

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 13:30

J'ai vu ma faute c'est bon dcp en haut ça me donne (2+x-xlnx)/x mais comment je peux faire apparaître le x au dénominateur je factorise toute la fonction par x ?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 13:33

en réduisant au même dénominateur ton résultat de 11h26
F'(x) = (1/x * (2+x) - ln(x)*1 ) / (x+2)^2
le x vient tout seul

et ensuite signe du numérateur
signe de x
signe de (x+2)^2
OK ?

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 13:40

En fait je dois trouver f'(x)= g(x)/ x(x+2)^2 sauf que g(x) je la trouve ok mais pas le dénominateur puisqu'il manque x

Posté par
Bastien006
re : Fonction logarithme 10-02-22 à 14:18

Ou alors j'ai rien compris à ce que tu m'as dit et j'en suis désolé

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction logarithme 11-02-22 à 08:12

\dfrac{\frac a b}{c}=\dfrac a b \times \dfrac 1 c = \dfrac {a}{b\times c}



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