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Fonction logarithme/exponentielle
Bonjour a tous, je suis bloqué avec un exo : j'ai une fonction fα(x)= ln(x-α×e^(-x))
Le α est variable et appartient a R.
On me demande de prouver que pr tt α>e^(-1) fα est definie sur R
Merci de votre aide 😉😊
bonjour
ne pas utiliser x pour multiplier mais *
à quelle condition le log est-il défini ? est ce vérifié avec cette condition ?
Le log est defini quand ce qu'il y a a l'intérieur est strictement positif, j'avais teste de resoudre
x+e^(-0.9-x) > 0
(J'ai pris e^(-0.9) pr α)
Mais en essayant de resoudre l'inequation je suis bloquée,
x + e^(-0.9-x) > 0
e^(-0.9-x) > -x
ln(e^(-0,9-x)> ln(-x)
Et a partir de là je suis bloquée
bonjour
non... on prend pas une valeur particulière pour alpha... ça ne prouvera rien !
et pour faciliter la saisie ici, je prend a à la place de alpha
don on sait que a>e-1
donc a e-x > ...?... car ...?...
a e^(-x) > 0 car exp > 0
Mais il reste le x et le a ? Et x appartient a R, il faut definir le x aussi
en plus l'énoncé me semble faux ....
si alpha est positif, ta fonction n'est jamais définie en 0 ....
donc énoncé à revoir
x + a*e^(-x) > 0
a*e^(-x) > -x
a > -x*e^(x) car exp > 0
a> e^(-1) > -x*e^(-x)
Comment montrer que c'est positif
0 il est évident que fa n'est pas définie en 0 ...On me demande de determiner les limites de fa en plus et moins l'infini, or une fonction ln ne peut pas tendre vers moins l'infini! Comment est ce possible ?
1 : commence par répondre à la question initialement posée
2 : si, un "ln" peut tendre vers -
... il suffit de connaître son cours
Ah oui ok je pensais que c'était quand x tend vers moins l'infini, mais ducoup c'est pr x tend vers 0
mais ici, rien n'empêche de faire tendre x vers - puisque la fonction est définie sur R
bref
bon alors si on répondait à la question initialement posée ?
J'ai essayé en etudiant les variations de ha mais le pbm c'est que a*e^(-x) est tjr positif car a>e^(-1)>0 et une exponentielle est tjr >0
Sauf qu'il me reste le x qui lui est positif seulement pr x >0
Donc j'ai entre -inf et 0 negatif puis apres de 0 a plus inf positif, donc ma fonction fa n'est pas définie entre 0 et moins l'infini? Mais on n'a prouvé que a>e^(-1)
quel chantier ! tu peux essayer d'être un peu méthodique ?
pour a>0 on pose ha(x) = x + a e-x
dérivée ?
signe de la dérivée ?
tableau de variation ?
minimum ?
fa est définie sur 
ssi ha est positive sur
ce qui est réalisé quand le minimum est strictement positif...
ce qui signifie ...?
ha(x)'= 1 - a*e^(-x)
Donc 1 tjr positif
-a*e^(-x)>0 si a>0 donc >e^(-1) ?
La derivee est donc negative puis positive, s'annule en e^(-1)?
Ha est donc décroissante puis croissante avec un minimum en e^(-1)
Donc ha positive en x=e^(-1) et apres comme elle est croissante
Donc a> e^(-1) ?
faut arrêter le délire là !
que vient faire le "1 est toujours positif" ?
on a une somme, pas un produit
et tous les nombres positifs ne sont pas supérieurs à e-1 !
alors tu me résous proprement l'inéquation en x
1- a e-x 
0
bon, c'est mieux ! 
donc h'a (x) 0 ssi x ln(a)
donc ha décroit sur ... et croit sur ....
ha atteint un minimum en ... qui vaut ....
bon... je vais quitter ...
il te reste à traduire que la valeur minimale de ha doit être strictement positive si on veut que ha(x) soit toujours strictement positive et que la fonction
fa(x) = ln(ha(x)) soit définie sur
ha decroit sur moins infini ln(a) et croit sur ln(a) plus l'infini, on a un minimum pr x = ln(a)
Et je trouve h(lna)= ln(a)+1 et comme ln est positif, lna +1 positif
je ne vois pas pourquoi ln(a) serait positif !!!!!!
tu vas me résoudre
ln(a) + 1 > 0
correctement et tu auras la réponse au problème posé
Merci bcp pr votre aide et votre patience 😂😅 cet exo m'a donné pas mal de fil à retordre mais c'était seulement la 1ere question sur 4 😂
Encore merci et bonne soirée
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