Bonjour a tous, je suis bloqué avec un exo : j'ai une fonction fα(x)= ln(x-α×e^(-x))
Le α est variable et appartient a R.
On me demande de prouver que pr tt α>e^(-1) fα est definie sur R
Merci de votre aide 😉😊
bonjour
ne pas utiliser x pour multiplier mais *
à quelle condition le log est-il défini ? est ce vérifié avec cette condition ?
Le log est defini quand ce qu'il y a a l'intérieur est strictement positif, j'avais teste de resoudre
x+e^(-0.9-x) > 0
(J'ai pris e^(-0.9) pr α)
Mais en essayant de resoudre l'inequation je suis bloquée,
x + e^(-0.9-x) > 0
e^(-0.9-x) > -x
ln(e^(-0,9-x)> ln(-x)
Et a partir de là je suis bloquée
bonjour
non... on prend pas une valeur particulière pour alpha... ça ne prouvera rien !
et pour faciliter la saisie ici, je prend a à la place de alpha
don on sait que a>e-1
donc a e-x > ...?... car ...?...
a e^(-x) > 0 car exp > 0
Mais il reste le x et le a ? Et x appartient a R, il faut definir le x aussi
en plus l'énoncé me semble faux ....
si alpha est positif, ta fonction n'est jamais définie en 0 ....
donc énoncé à revoir
x + a*e^(-x) > 0
a*e^(-x) > -x
a > -x*e^(x) car exp > 0
a> e^(-1) > -x*e^(-x)
Comment montrer que c'est positif
On me demande de determiner les limites de fa en plus et moins l'infini, or une fonction ln ne peut pas tendre vers moins l'infini! Comment est ce possible ?
1 : commence par répondre à la question initialement posée
2 : si, un "ln" peut tendre vers - ... il suffit de connaître son cours
Ah oui ok je pensais que c'était quand x tend vers moins l'infini, mais ducoup c'est pr x tend vers 0
mais ici, rien n'empêche de faire tendre x vers - puisque la fonction est définie sur R
bref
bon alors si on répondait à la question initialement posée ?
J'ai essayé en etudiant les variations de ha mais le pbm c'est que a*e^(-x) est tjr positif car a>e^(-1)>0 et une exponentielle est tjr >0
Sauf qu'il me reste le x qui lui est positif seulement pr x >0
Donc j'ai entre -inf et 0 negatif puis apres de 0 a plus inf positif, donc ma fonction fa n'est pas définie entre 0 et moins l'infini? Mais on n'a prouvé que a>e^(-1)
quel chantier ! tu peux essayer d'être un peu méthodique ?
pour a>0 on pose ha(x) = x + a e-x
dérivée ?
signe de la dérivée ?
tableau de variation ?
minimum ?
fa est définie sur ssi ha est positive sur
ce qui est réalisé quand le minimum est strictement positif...
ce qui signifie ...?
ha(x)'= 1 - a*e^(-x)
Donc 1 tjr positif
-a*e^(-x)>0 si a>0 donc >e^(-1) ?
La derivee est donc negative puis positive, s'annule en e^(-1)?
Ha est donc décroissante puis croissante avec un minimum en e^(-1)
Donc ha positive en x=e^(-1) et apres comme elle est croissante
Donc a> e^(-1) ?
faut arrêter le délire là !
que vient faire le "1 est toujours positif" ?
on a une somme, pas un produit
et tous les nombres positifs ne sont pas supérieurs à e-1 !
alors tu me résous proprement l'inéquation en x
1- a e-x 0
bon, c'est mieux !
donc h'a (x) 0 ssi x
ln(a)
donc ha décroit sur ... et croit sur ....
ha atteint un minimum en ... qui vaut ....
bon... je vais quitter ...
il te reste à traduire que la valeur minimale de ha doit être strictement positive si on veut que ha(x) soit toujours strictement positive et que la fonction
fa(x) = ln(ha(x)) soit définie sur
ha decroit sur moins infini ln(a) et croit sur ln(a) plus l'infini, on a un minimum pr x = ln(a)
Et je trouve h(lna)= ln(a)+1 et comme ln est positif, lna +1 positif
je ne vois pas pourquoi ln(a) serait positif !!!!!!
tu vas me résoudre
ln(a) + 1 > 0
correctement et tu auras la réponse au problème posé
Merci bcp pr votre aide et votre patience 😂😅 cet exo m'a donné pas mal de fil à retordre mais c'était seulement la 1ere question sur 4 😂
Encore merci et bonne soirée
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