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Fonction logarithme népérien

Posté par
xaxa589
18-02-16 à 22:01

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide pour résoudre une équation :
ln(x+3) = ln(5-x)

Merci

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:07

bonsoir : )

1) Explicite le domaine de définition.
2) Souviens toi que \boxed{e^{\ln x} = x, \forall x > 0} et applique.

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:11

salut
j'ai déjà fait ça

ln(x+3) = ln(5-x)

il faut x+3 > 0 <=> x > -3

x = ] 3 ; + infinie [

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:13

Ok.
Et tu fais quoi pour ln(5 - x) ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:14

Attention à l'oublie du signe :

Citation :
x = ] -3 ; + infinie [

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:15

5-x > 0 <=> x < -5
x = ]- Infinie ; -5 [

c'est ça ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:15

Posté trop vite,
Attention à l'oublie du signe, et attention à ce que tu écris, x ne peut pas être égal à cet ensemble (x est un nombre), x doit appartenir à cet ensemble.

Citation :
x ] -3 ; + infinie [

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:17

Ok merci pour ton aide, je ne suis pas très fort en maths, du coup je fais des erreurs mais merci

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:19

Citation :
Citation :
5-x > 0 <=> x < -5
Non.
5 - x > 0 (j'ajoute x de chaque côté)
5 - x + x > x
5 > x



ln(x + 3) est défini du moment que x > -3 c'est à dire x ]-3 , +infini[
ln(5 - x) est défini du moment que 5 > x c'est à dire x ]-infini , 5[

Donc si l'équation étudiée admet une solution, celle-ci appartiendra à ???

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:22

x+3 = 5-x ?

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:25

j'ai trouvé 2x = 2 <=> x= 1
c'est ça ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:27

Citation :
x+3 = 5-x ?
Si tu appliques l'exponentielle de chaque côté alors oui on obtient cette équation.

Mais il te reste une petite question à répondre d'abord.

On a vu que ln(x + 3) est défini du moment que x > -3 c'est à dire x ]-3 , +infini[.
On a vu également que ln(5 - x) est défini du moment que 5 > x c'est à dire x ]-infini , 5[.
On peut conclure que l'ensemble auquel doit appartenir les solutions à l'équation (si elle en a) est : ]-3 , +infini[ ]-infini , 5[ = ]-3 , 5[.

D'accord ?

Il faut s'assurer que les deux quantités ln(x + 3) et ln(5 - x) existent.
C'est pour cette raison qu'on fait l'intersection des domaines.
Et on trouve que lorsque x appartient à l'intervalle ]-3 , 5[ : ln(x + 3) est bien défini et ln(5 - x) est bien défini également.



Reste maintenant à résoudre l'équation x + 3 = 5 - x

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:29

Citation :
j'ai trouvé 2x = 2 <=> x= 1
c'est ça ?
Oui très bien : )

Conclusion ?

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:29

Ah ok j'ai compris ! merci de ton aide et de ton temps

Dis moi est ce que si tu le souhaites j'ai une inéquation qui me bloque

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:30

il y a une conclusion à faire ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:37

Une fois que tu trouves que x = 1, il faut quand même vérifier s'il est bien dans l'ensemble des valeurs permises : ]-3 , 5[. C'est bien le cas donc la solution à l'équation est 1.


Tu peux mettre ton inéquation.

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:40

ln(𝑥 + 3) < ln(5 −𝑥)

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:44

Exact comme ce que tu as fait pour le précédent, (le domaine de définition est le même), et on veut se débarasser des logarithmes alors on applique l'exponentielle.

Remarque importante :
Comme l'exponentielle est une fonction croissante sur R, quand on l'applique à une inégalité, celle-ci conserve son sens.

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:46

Ok je suis censé faire quoi ?

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:47

Tu dois appliquer la fonction exponentielle aux deux membres de l'inégalité pour faire disparaitre les ln.

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:51

ln e3 + ln e5

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:55

Non.

Je te refais la 1)

\forall x \in ]-3 , 5[, \ln(x + 3) = \ln(5 - x) \Leftrightarrow e^{\ln(x + 3)} = e^{\ln(5 - x)} \Leftrightarrow x + 3 = 5 - x \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1

D'accord ?
J'ai appliqué la fonction logarithme aux deux membres de l'égalité.



La 2)
\forall x \in ]-3 , 5[, \ln(x + 3) < \ln(5 - x) \Leftrightarrow e^{\ln(x + 3)} < e^{\ln(5 - x)} \Leftrightarrow x + 3 < 5 - x \Leftrightarrow ...

D'accord ?
J'ai appliqué la fonction logarithme aux deux membres de l'inégalité.

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 22:56

Pardon :

Citation :
Je te refais la 1)

\forall x \in ]-3 , 5[, \ln(x + 3) = \ln(5 - x) \Leftrightarrow e^{\ln(x + 3)} = e^{\ln(5 - x)} \Leftrightarrow x + 3 = 5 - x \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1

D'accord ?
J'ai appliqué la fonction exponentielle aux deux membres de l'égalité.



La 2)
\forall x \in ]-3 , 5[, \ln(x + 3) < \ln(5 - x) \Leftrightarrow e^{\ln(x + 3)} < e^{\ln(5 - x)} \Leftrightarrow x + 3 < 5 - x \Leftrightarrow ...

D'accord ?
J'ai appliqué la fonction exponentielle aux deux membres de l'inégalité.

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 23:00

<=> 2x < 2 <=> x > -2/2

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 23:02

x > -1

alors S= { - inf ; -1}
?

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 23:12

Attention, n'oublie pas toujours de revenir sur l'ensemble de définition à la fin.

Tu t'es trompé(e).
\forall x \in ]-3 , 5[, \ln(x + 3) < \ln(5 - x) \Leftrightarrow e^{\ln(x + 3)} < e^{\ln(5 - x)} \Leftrightarrow x + 3 < 5 - x 
 \\ \Leftrightarrow 2x < 2 \Leftrightarrow x < \frac{2}{2} \Leftrightarrow x < 1

Il faut que x < 1 soit x ]-infini , 1[ ET on a vu que x ]-3 , 5[.

Conclusion ?

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 23:15

Donc  x < 1 est bien compris dans l'intrvalle   ]-3 , 5[

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 23:17

Euhm non.

Je pense que tu ne comprends pas ce que tu dis.

x doit vérifier deux choses à la fois :
1) il doit appartenir à ]-3 , 5[
2) il doit appartenir à ]-infini , 1[

écrit autrement :
x doit appartenir à ]-3 , 5[ ]-infini , 1[

soit x doit appartenir à ??? (que vaut l'intersection ?)

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 23:24

x doit appartenir à ]-3; 5 [

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 23:27

Non, x doit appartenir à ]-3 , 1[.

Donc S = ]-3 , 1[.


Je t'invite à reprendre des exercices sur les intervalles, les équations, inéquations, sinon tu vas avoir beaucoup de mal.

Posté par
xaxa589
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 23:29

Merci encore de ton temps et de tes conseils, bonne soirée

Posté par
mdr_non
re : Fonction logarithme népérien 18-02-16 à 23:51

de rien : ) bonne continuation : )



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