Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Fonction logarithme népérien

Posté par
Petrova99
22-04-19 à 18:20

Bonjour à tous

J'ai un exercice à effectuer pour lequel j'éprouve beaucoup de difficultés :/

Soit f la fonction définie sur I=]0;+∞[ par f(x)=1+lnx/x

1. Résoudre sur l'intervalle I, l'inéquation f(x) ⩾ 1

2. On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.
   a) Montrer que pour tout réel x strictement positif, f'(x)=1-lnx/x^2

   b) Étudier les variations de la fonction f sur I

3. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique dans l'intervalle [0.1;1]. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à -10^2 près de a (alpha)

Où j'en suis dans mon devoirs :

1. f(x)=1+lnx/x
1+lnx/x ⩾ 1
lnx/x ⩾ 0
  e (lnx/x)/x ⩾ 0
  e^x ⩾ 0

Je ne suis cependant vraiment pas sure que ce soit ca

2.
a) Je ne sais pas comment trouver f', toute piste serait la bienvenue
b) Étant donné que je fais une fixette sur la dérivée que je n'arrive pas à trouver je n'arrive pas non plus à faire le tableau :/

3. Il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et rentrer la fonction de base sur la calculatrice ou l'on obtient un nombre alpha comprit entre 0,5 et 0,6 avec a=0.14

Merci pour votre aide

Posté par
sanantonio312
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:25

Bonjour,
c'est 1+\dfrac{ln(x)}{x} ou \dfrac{1+ln(x)}{x} ?

Posté par
matheuxmatou
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:27

bonjour

1 :  jusque la troisième ligne, OK ... ensuite c'est le grand délire !

donc résous

ln(x) / x 0 correctement sur ]0;+[

après on verra

Posté par
Petrova99
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:27

Bonjour

C'est la première fonction que vous avez proposé soit 1 + (ln(x))/x

Désolé pour mon manque de de clarté :/

Merci

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:28

Bonsoir

1+\dfrac{\ln x}{x}\geqslant 1

\dfrac{\ln x}{x}\geqslant 0

x>0 \quad \dfrac{\ln x}{x}\geqslant 0 \iff \ln x  \geqslant 0

Posté par
matheuxmatou
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:29

hekla

merci de ne pas rédiger des solutions toutes faites ! ce n'est pas l'esprit du site

Posté par
Petrova99
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:33

Bonsoir

Merci à tous pour vos réponses
Merci Hekla car je ne voyais pas d'autres alternatives pour résoudre la fonction correctement contrairement à ce que j'ai effectué de base

Posté par
Petrova99
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:34

Pouvez m'eclairer pour la question 2 SVP

Devrais-je utiliser une formule spécifique? J'ai pensé à faire u/v (formule de dérivée) mais je ne suis pas sure que ce soit que ça

Merci

Posté par
matheuxmatou
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:35

faut pas rigoler !

quand le dénominateur est positif, un quotient a le même signe que le numérateur

cela s'appelle la règle des signes !

Hekla est bien gentil de partager le fait qu'il sait le faire plutôt que de guider vers les méthodes à utiliser !
cela ne sert à rien et je suis persuadé que la prochaine fois que tu seras devant ce cas de figure, tu resteras encore bloquée !

Posté par
matheuxmatou
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:37

pour la dérivée, il faut apprendre le cours et refaire les exemples !

tu as une somme et un quotient ... et un cours  avec des outils

propose ton calcul et on corrigera si c'est faux

Posté par
Petrova99
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:38

J'essayerai de beaucoup m'entrainer sur ce genre de calculs afin de ne plus bloquer les prochaines fois notamment au bac si un calcul dans ce genre tombe
Merci matheuxmatou

Posté par
sanantonio312
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:40

Bonjour matheuxmatou,
Je rencontre fréquemment hekla sur l'île et pense pouvoir dire que nous nous apprécions mutuellement.
Peut-être est-il allé un peu loin sur ce coup. Ce n'est pas son habitude me semble-t-il.
En tous cas, il ne m'a jamais agacé pour ça

@Petrova, la dérivée d'une constante étant nulle, l'utilisation de la formule donnant la dérivée de u/v est effectivement tout indiquée

Posté par
matheuxmatou
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:43

sanantonio312 ... bonsoir... oui, tu as raison ! Hekla est  plus délicat en général

la valeur de la dérivée donnée dans l'énoncé est fausse... telle qu'elle est écrite

Posté par
Petrova99
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:48

D'accord super alors j'ai pensé à utiliser la formule u/v avec (u'v-uv')/v^2
Ou u=1+lnx et u'=1/x
Et v=x et v'=1

Qu'en pensez vous?

J'obtiens ensuite

[(1/x)*(x)-1+lnx*1]/x^2

Cependant je n'arrive pas à simplifier

Posté par
matheuxmatou
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:49

voir le message de San Antonio de 18:25

Posté par
Petrova99
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:50

La dérivée donnée sur l'enoncée est :
f'(x)=(1-lnx)/x^2

Elle est fausse Matheuxmatou?

Posté par
Petrova99
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:52

San Antonio c'est la première fonction que vous avez proposé
Soit f(x)= 1 + (lnx)/x

Posté par
sanantonio312
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:55

Alors pourquoi dis-tu u=1+ln(x) dans u/v? Le 1 n'est pas au numérateur de la fraction...

Posté par
sanantonio312
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 18:55

Avec les parenthèses que tu as mises, la dérivée est juste...

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 19:17

Ce n'est pas toujours facile de tomber sur le juste milieu en dire trop ou pas assez

Dire de penser à un tableau de signes  mais c'est d'un lourd  j'ai estimé aussi, selon la classe il pouvait trouver cela tout seul et d'ailleurs je n'ai pas résolu cette inéquation, ce qui aurait été trop loin.

Posté par
Petrova99
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 19:24

Oui désolé j'avais mal écrit au début
Il faut que j'en trouve cette dérivée du coup
Qu'en pensez-vous de mon raisonnement?

Posté par
hekla
re : Fonction logarithme népérien 22-04-19 à 19:54

1+\dfrac{\ln x}{x}

k+\dfrac{u}{v}



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !