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fonction logarithme népérien

Posté par
Nelcar
30-11-20 à 12:54

Bonjour,
voici l'exercice que j'ai à faire :
soit g la fonction définie sur ]0 ; + infini[ par g(x)=4x-xln(x)
1) déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition et préciser les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de g

voici ce que j'ai fait :
je factorise x(4-(ln(x))/x   x non nul

lim  x= - infini                et             lim x lnx = 0
x0                                              x0
x>0                                                     x>0
donc g(x)=0
x0
x>0
pour tout réel x>0, g(x)=x(4-lnx)
lim lnx=    + infini     et donc  lim (4-lnx)=-infini
x+infini                   x+infini
on en déduit que lim g(x)  =  - infini
x+infini
on a une asymptote verticale

MERCI

    

Posté par
pgeod
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 13:07

A priori les limites trouvées sont les bonnes.

Je ne comprends pas en quoi la factorisation de g(x) t'a aidé.
Il y a sans doute une coquille dans ta rédaction :
lim  x= - infini  
x -> 0                          

Posté par
Nelcar
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 13:55

Re,

oui donc :
x non nul

lim  lnx= - infini                et             lim x lnx = 0
x0                                              x0
x>0                                                     x>0
donc g(x)=0
x0
x>0
pour tout réel x>0, g(x)=x(4-lnx)
lim lnx=    + infini     et donc  lim (4-lnx)=-infini
x+infini                   x+infini
on en déduit que lim g(x)  =  - infini
                   x+infini

on a une asymptote verticale

Merci de me dire si c'est ok et surtout pour l'asymptote car j'ai du mal avec ça

question 2 : étudier les variations de la fonction g sur ]0 : + infini[
g(x)>0 ⇔ 4−ln(x)>0 (car x >0) ⇔ 4>ln (x) ⇔ e4>x

la fonction est croissante sur  ]0 ; e4[    puis décroissante sur ]e4;+infini[

question :3 : déterminer le signe de g(x)sur ]0 : + infini[

x                0                    e4                  + infini

g(x)                    +           0                     -

Posté par
Nelcar
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 13:55

j'ai envoyé trop vite (erreur avec aperçu)

Merci de me dire quoi car j'ai du mal à comprendre la différence entre question 2 et 3

MERCI

Posté par
Nelcar
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 17:17

Re,

Merci de me dire quoi car cet exercice est pour demain


MERCI

Posté par
Nelcar
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 18:20

Re,
j'ai une quatrième question qui est de montrer que l'équation g(x)=0 possède deux solutions dont on donnera un encadrement à 10-2 près
là j'ai fait g(x)=x(4-ln(x))= 0  donc 4-ln(x)=0  (x>0) d'ou ln(x)=4 donc x=e4
S={e5}
enadrement
54,59<e4<54,60

MERCI de me répondre

Posté par
hekla
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 19:00

Question 2
je n'ai pas du tout cela pour la dérivée

 g'(x)=4-\left(1\times \ln x+x\times \dfrac{1}{x}\right)=3-\ln x

 g'(x) >0\  x <\text{e}^3

tableau de variation
fonction logarithme népérien

question 3 g(x)>0

 x(4-\ln x)>0  d'où ]0~;~\text{e}^4[

Posté par
Nelcar
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 20:12

Re,

je n'ai pas compris ta dérivée
4x= 4
x=1
lnx=1/x
g'x)=4-(1+1/x)=4-1-1/x = 3-1/x
ah ok je viens de comprendre pour éviter d'avoir x
donc ok pour g'(x)= 3-lnx
ok pour le tableau c'est bon
par contre pour la question 3
là j'ai fait g(x)=x(4-ln(x))= 0  donc 4-ln(x)=0  (x>0) d'ou ln(x)=4 donc x=e4

dit : g(x)=0 possède 2 solutions et donner un  encadrement à 10-2 près

S={e4}
enadrement
54,59<e4<54,60

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 20:22

Dérivée g=h-uv

h(x)=4x u(x)=x v(x)=ln(x)

par conséquent on aura g'=h'-(u'v+v'u)

 h(x)=4x
 u(x)= x
v(x)=\ln x

si l'on résout 4x-x\ln x =0 \iff x(4-ln x)=0

produit nul x=0 ou  4-\ln x=0

x=0 n'est pas valable car 0\not\in \D_g donc une seule solution  erreur de texte

Il n'y a pas d'asymptote

Posté par
hekla
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 20:24

Dans la deuxième ligne  il manque les espaces


h(x)=4x\quad  u(x)=x \quad  v(x)=ln(x)

Posté par
Nelcar
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 21:04

Re,
donc ça veut dire quoi
tu met une seule solution c'est laquelle, ce n'est plus e3

je suis perdue là

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 21:20

La valeur qui annule la dérivée est bien \text{e}^3 c'est bien ce que l'on peut lire dans le tableau

Citation :
si l'on résout 4x-x\ln x =0 \iff x(4-ln x)=0

produit nul x=0 ou  4-\ln x=0

x=0 n'est pas valable car 0\not\in \D_g donc une seule solution  erreur de texte


ceci concerne la question 4 la résolution de  g(x)=0 on vous demande 2 solutions alors qu'il n'y en  qu'une

on a bien g(\text{e}^4)=0

Posté par
Nelcar
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 21:30

Re,
OK merci et bonne soirée
A plus

Posté par
hekla
re : fonction logarithme népérien 30-11-20 à 21:32

De rien

Bonne soirée

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