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fonction logarithme népérien
Bonjour,
J'ai un DM a rendre pendant les vacances. Pouvez-vous m'orienter sur les réponses?
Voici l'énoncé :
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
- la courbe représentative Cf d'une fonction f définie et dérivable sur ]0; +infinie[
-la tangente TA à la courbe Cf au point A de coordonnées (1/e;e)
- la tangente TB à la courbe Cf au point B de coordonnées (1;2).
La droite TA est parallèle a l'axe des abscisses. La droite TB coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (3;0) et l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;3).
(Image)
On note f' la fonction dérivée de f
Partie 1)
1)Déterminée graphiquement les valeurs de f'(1/e) et de f'(1)
2)En déduire une équation de la droite TB
Partie 2)
On suppose maintenant que f est définie sur ]0;+infinie[ par :
f(x)=(2+ln(x))/x
1)Par le calcul, montrer que la courbe Cf passe par les points A et B et qu'elle coupe l'axe des abscisses en un point unique que l'on précisera.
2)Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, et la limite de f(x) quand x tend vers +infinie.
3. Montrer que, pour tout x appartenant à ]0;+infinie[, f'(x) =(-1- In(x))/x^2
4)Dresser le tableau de variations de f sur ]0:++infinie[.
5)On note f" la fonction dérivée seconde de f On admet que, pour tout x appartenant à ]0;+infinie[, f"x) =(1+2In(x))/x^3
Déterminer le plus grand intervalle sur lequel f est convexe.
Merci de votre réponse
Cordialement
Dorine
Bonjour,
Pour la question 1 de la première partie je pensais utiliser les tangentes mais je sais pas comment faire. Pour la question 2 j'ai écrit : y=-x+3.
Et après pour la deuxième partie je pense qu'il faut utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Ensuite, pour la question n°2 de la seconde partie, il faut déterminer toutes les suites de chaque nombre puis calculer si c'est une forme indéterminé ou non
La question 3, il s'agit de montrer une égalité donc je partirais du fait que f est définie sur O;+ l'infini avec la forme d'avant la question numéro 1
La question 4 j'ai réussi
Et la question 5 je vois pas comment faire
Cordialement
Dorine
Bonjour
Oui, il faut bien utiliser les tangentes. Quels sont leur coefficient directeur ?
Pourquoi avoir écrit D'où vient le
si ce n'est de la lecture du coefficient directeur.
Partie 2 un point appartient à une courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.
résolution d'une équation.
Que trouvez-vous pour les limites ?
Comment montrez-vous qu'une fonction est convexe ?
La question 1 vient de la définition du nombre dérivé donc : revois ton cours...
Question 2 : comment as tu trouvé cette équation?
Pour la suite , pourquoi veux tu utiliser le TVI?
Hekla t'a rappelé ensuite le lien entre une courbe et son equation.
Qu'entends tu par suite de chaque nombre?
Pour les limites c'est encore du cours.
Pour la 5 , à quoi sert une dérivée seconde?
Voilà :donc reprend question par question , en reprenant auparavant ton cours.
Bien, on va reprendre
Partie 1 la tangente en A est parallèle à l'axe des abscisses donc coefficient directeur nul
On sait que l'interprétation du nombre dérivé est le coefficient de la tangente à la courbe en ce point
donc
La droite TB coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (3;0) et l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;3).
On est donc amené à écrire l'équation d'une droite connaissant 2 points
équation de la tangente. C'est bien ce que vous aviez trouvé sans justifier
Partie 2
un point appartient à une courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe. vous vérifiez avec les coordonnées de A et ensuite celles de B.
résolution de
Où en êtes-vous maintenant ?
Pour vérifier les coordonnées je remplace 1/e dans l'équation de la droite et je fais de même pour B
Calculons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse
L'ordonnée étant celle de A, le point A appartient à la courbe.
on en fait autant avec B
Pour B on obtient 2 donc b appartient aussi à la courbe
Et du coup comme à et b appartiennent à la courbe elle passe par les points à et b en coupant l'axe des abscisses en un point unique
Déterminons l'abscisse du point en lequel la courbe coupe l'axe des abscisses pour ce faire résolvons
Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul
Résolvons donc
La limite de 2 quand x tend vers 0 par valeurs supérieures est égal à 2
La limite de ln de x quand x tend vers 0 par valeurs superieur est égale à je dirais 0
Limite de x quand x tend vers 0 par valeur superieur est égale à plus l'infini donc la limite de f de x quand x tend vers 0 par valeurs supérieures est plus l'infini
La limite de f de x quand x tend vers plus l'infini est plus l'infini
Vous auriez pu vous aider du graphique
on voit une courbe qui monte le long de l'axe des ordonnées et qui s'allonge sur l'axe des abscisses. On est loin des
pour la limite en 0+ le numérateur tend vers et le dénominateur tend vers 0+ donc le quotient tend vers
c'est du cours
en , on a
le premier tend vers 0 et le second vers 0 cours croissance comparée donc limite 0
est une forme « indéterminée » il faut bien savoir que la fonction
croît moins vite que la fonction identité
Rebonjour dodorine,
Je me permet d'intervenir car en TS ,on attend un minimum d'initiatives des élèves et il faut connaitre son cours !Tu ne dois pas tout attendre de la personne qui t'aide.
Bon courage.
Bonjour
Pour effectuer la question 3, il s'agit de déterminer la dérivée de
Pour que vous puissiez continuer sans avoir réussi le calcul de la dérivée, on vous donne la solution. Ce n'est pas une égalité à vérifier.
Quel problème y a-t-il ?
Question 5 résoudre
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