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fonction logarithme népérien et suites

Posté par
patson972 05-02-09 à 19:37

Bonjour je fais quelques exercices afin de préparer un bac blanc de maths qui aura lieu prochainement; Je bloque sur un exercice ou sont associés suites et logarithme.

Soit la suite Un définie par Uo = e^3 et Un+1(indice n+1) = e* racine carrée de Un;
on note (Vn) = Ln(Un)-2.

1) démontrer que la suite Vn est géométrique , préciser la raison et le premier terme.

Merci d'avance

Posté par
dhaltere : fonction logarithme népérien et suites 05-02-09 à 19:54

u_0=e^3 \\ u_{n+1}=e\times{\sqr{u_n}

donc u_n>0 très facile par récurrence

v_0=3-2=1 \\ v_n=\ln(u_n) - 2 \\ v_{n+1}=\ln(e\times\sqr{u_n})-2=1+\frac12\ln(u_n)-2=-1+\frac12v_n

v_n n'est pas une suite géométrique.

Par contre, si on prend w_n=\ln(u_n)-1, alors w_n sera géométrique

Posté par
patson972re : fonction logarithme népérien et suites 05-02-09 à 20:05

ok mais si c'est marqué démontrer , c'est que la suite doit être géométrique non ?

Posté par
dhaltere : fonction logarithme népérien et suites 05-02-09 à 20:06

Ou alors il y a une erreur dans l'énoncé ou dans ta recopie

Posté par
patson972re : fonction logarithme népérien et suites 05-02-09 à 20:36

non désolé il n'y a pas d'erreur dans ma recopie

Posté par
dhaltere : fonction logarithme népérien et suites 05-02-09 à 20:39

C'est moi qui suis désolé pour toi.
Il n'y a pas non plus d'erreur dans mon calcul, alors la conclusion s'impose : il y a une erreur dans l'énoncé.

Posté par
patson972re : fonction logarithme népérien et suites 05-02-09 à 22:43

vous avez oublié de diviser Vn+1 par Vn , je trouve 1/2 . merci beaucoup vous m'avez mis sur la bonne voie !!Bonne soirée à vous

Posté par
dhaltere : fonction logarithme népérien et suites 06-02-09 à 10:09

J'ai effectivement laissé une erreur de calcul, mais absolument pas celle que tu indiques.

u_{n+1}=e\times \sqrt{u_n} \\ v_n=\ln(u_n)-2 \\ v_n+2=\ln(u_n) \\ v_{n+1}=\ln(u_{n+1})-2 \\ v_{n+1}=\ln(e\times \sqrt{u_n})-2 \\ v_{n+1}=\ln(e)+\ln(\sqrt{u_n})-2 \\ v_{n+1}=-1+\frac12\ln({u_n}) \\ v_{n+1}=-1+\frac12(v_n+2) \\ v_{n+1}=-1+\frac12(v_n)+1 \\ v_{n+1}=\frac12(v_n)


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