Niveau terminale

Fonction logarithme néperienne

Posté par Holo (invité) 05-01-05 à 22:35

Hello everybody !

J'aurais besoin d'une vérification de mon exercice et une aide sur la fin. Je compte une nouvelle fois sur vous (oui je suis un boulet ).
               --------------------------
Exercice 1:
Soit f une fonction dérivable sur ]0;+[, on ait  f(xy)=f(x)+f(y)  (E)
Partie A -
1°) En remplacant y par une valeur adéquate, montrer que f(1)=0
2°) Soit un réel fixé de ]0;+[ et g la fonction définie par: g(x)=f(x)
   a) Déterminer de 2 facons différentes la dérivée de g
   b) En déduire (en remplacant x par une valeur adéquate) que: f'()=k/  avec k=f'(1)
La fonction dérivée de f' est donc de la forme: f'(x)=k/x
3°) soit h définie par: h(x)= f(x)-k ln x
   a) Déterminer h'. Que peut on en déduire pour h ?
   b) En utilisant 1°), démontrer que pour tou x de ]0;+[, f(x)=k ln x.
Le but fixé est donc atteint.
Partie B -
Proposer une fonction f définie par sur ]0;+[  telle que f(2)=4 et vérifiant (E)
               --------------------------
Mes réponses:
1°) f(xy)=f(x)+f(y)
    f(y)=f(xy)-f(x)
    On pose y=1
    f(1)=f(x)-f(x)=0
2°)a- g(x)=f(x)
          =f()+f(x)
      donne g'(x)=f'(x)
         et g'(x)=f'()+f'(x)
   b- f'(x)=f'()+f'(x)
      f'()=f'(x)-f'(x)
      On remplace x par... (La je suis bloqué... )
3°)a- h(x)=f(x)-k ln x
      h'(x)= k/x - k1/x
           = k/x - k/x
           = 0
      h n'est donc pas dérivable.
   b- (Pas trouvé )
               --------------------------
Voilà ! Amusez vous bien... Bonne chance et Merci !

Posté par Holo (invité)re : Fonction logarithme néperienne 06-01-05 à 00:04

Personne ?

Posté par re : Fonction logarithme néperienne 06-01-05 à 14:48

Salut Holo ,

Je vais tenter de t'aider. Je suis d'accord avec toi en ce qui concerne la première question, mais pas les suivantes . On aurait selon moi :

2) a - Déterminer de 2 facons différentes la dérivée de g
Tu n'en à déterminer qu'une et de manière incomplète, mais tu as eu une bonne idée pour la première façon de déterminer la dérivée. En effet :

$2$\rm~g(x)~=~f(\alpha~x)~=~f(\alpha)+f(x)$

Lorsque tu as dérivé cela, tu as tout bien fait, sauf que tu as oublier que comme ALPHA est un réel, alors f(ALPHA) est une constante et sa dérivée est donc égale à 0. On a donc :

$2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~g'(x)~=~f'(x)\\\hline~\end{tabular}$   (*)

La deuxième manière de trouver la dérivée de g(x) est de considérer uniquement la fonction g comme une composée de f et de   $2$x\to\alpha~x$ :

$2$\rm~g(x)~=~f(\alpha~x)$   d'où   $2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~g'(x)~=~(\alpha~x)'\times~f'(\alpha~x)~=~\alpha~f'(\alpha~x)\\\hline~\end{tabular}$   (**)

b - En déduire (en remplacant x par une valeur adéquate) que :   $2$\rm~f'(\alpha)=\frac{k}{\alpha}~~avec~k=f'(1)$
Et voilà, la plus grande partie du tavail accomplie . En mettant n relation les égalités (*) et (**), on voit que :

$2$\rm~\alpha~f'(\alpha~x)~=~f'(x)$

Ainsi, en remplaçant x par 1, on a :

$2$\rm~\alpha~f'(\alpha)~=~f'(1)$
d'où   $2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~f'(\alpha)~=~\frac{f'(1)}{\alpha}\\\hline\end{tabular}$

3) soit h définie par: h(x)= f(x)-k ln x.
a - Déterminer h'. Que peut on en déduire pour h ?
Tu as presque tout bien fait ici, mais la conclusion que tu tires est fausse . En plus, elle est incohérente. Tu dis que h n'est pas dérivable alors que une ligne au-dessus tu marques h'(x)=0. Comment as-tu calculé h'si h n'est pas dérivable ?
h est dérivable sur   $2$]0;+\infty[$   comme différence de fonction dérivables sur   $2$]0;+\infty[$ et on a :

$2$\rm~h'(x)~=~\frac{k}{x}~-~\frac{k}{x}~=~0$

Donc, h' est nulle sur   $2$]0;+\infty[$ ,  ce qui traduit que h est constante sur   $2$]0;+\infty[$ .

b - En utilisant 1), démontrer que pour tout x de ]0;+[, f(x)=k ln x.
On vient de voir que h est constante sur   $2$]0;+\infty[$ . De plus, on a :

$2$\rm~h(1)~=~f(1)~+~k~ln(1)$

Or, on a vu en 1) que f(1)=0 et on sait que ln(1)=0. Ainsi :
$2$\rm~h(1)~=~0~+~0k~=~0$

Ainsi, pour tout x réel strictement positif :
$2$\rm~h(x)~=~0$
d'où   $2$\rm~f(x)~-~k~ln(x)~=~0$
donc   $2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~f(x)~=~k~ln(x)\\\hline~\end{tabular}$

PARTIE B

Proposer une fonction f définie par sur ]0;+[  telle que f(2)=4 et vérifiant (E).

On a montrer dans la partie A que les fonction qui vérifient (E) sont de la forme :

$2$\rm~f(x)~=~k~ln(x)~~(k\in\mathbb{R})$

On cherche donc une fonction i (c'est le premier nom qui m'est passé par la tête ) telle que :

$2$\rm~\{{i(x)=k~ln(x))\\i(2)~=~4}$
d'où   $2$\rm~k~ln(2)~=~4$
donc   $2$\rm~k~=~\frac{4}{ln(2)}$

Ainsi, i est définie sur   $2$]0;+\infty[$   par :
$2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~i(x)~=~\frac{4}{ln(2)}\times~ln(x)\\\hline\end{tabular}$

Voili, voilou .
Si tu as une question, n'hésite pas .

À +

Posté par Holo (invité)re : Fonction logarithme néperienne 06-01-05 à 23:04

Merci beaucoup, même si j'avais déjà rendu le dm, je n'avais pas réussi cet exo.
Je te remercie vraiment, là j'ai compris mes erreurs alors qu'avant je savais que j'avais faux, mais je ne savais pas pourquoi

PS: Au fait je ne voulais pas mettre que h' n'était pas dérivable, je voulais mettre qu'elle était constante, je ne sais pas pourquoi j'ai écris l'inverse

Posté par re : Fonction logarithme néperienne 06-01-05 à 23:40

De rien , ce fut un plaisir.
C'est juste dommage que mon POST ne sois pas arrivé à temps. Cependant, si tu as compris tes erreurs, c'est l'essentiel .

À +

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