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fonction logarithmique sur le carbone 14

Posté par
vanilla356664
30-11-22 à 13:20

Bonjour! j'effectue un exercice via mon manuel scolaire mais je suis assez perdu.. pouvez m'aider/ me guider pour répondre à ces questions?  Merci!

Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone employé en archéologie pour dater la matière organique retrouvée lors des fouilles.
Formule donnée : T = 8264ln(100/p)
avec p le pourcentage de carbone et T l'âge.

1. Dans quel intervalle varie p ?
2. Démontrer que la fonction T est décroissante sur l'intervalle. Interpréter.
3. On a décelé 0,5% de carbone 14 dans un squelette humain qui semble très ancien.
a. Estimer l'âge du squelette. Arrondir à la centaine d'années.

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 13:25

Bonjour

Que proposez-vous ? Qu'est-ce qui vous gêne ?

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 13:28

Comment trouver un intervalle? je dois étudier les racines?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 13:33

p est un pourcentage  

le plus petit pourcentage possible est

le plus grand est


donc p\in[\ ;\ ]

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 13:35

un pourcentage est compris entre 0 et 100?
donc p appartient à [0;100] ?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 13:50

Bien sûr

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 13:53

pour la question 2 je calcule la dérivée je fais un tableau de variation etc..?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 13:54

Par exemple

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 13:58

quelle est l'autre possibilité ?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 13:58

Il aurait dû être dit que l'âge  T est fonction du pourcentage lu p  car rien ici ne permet de relier l'un à l'autre.

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 14:00

Utilisez le sens de variation de fonctions usuelles, vous pouvez très bien utiliser la dérivée

Posté par
malou Webmaster
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 14:02

bonjour à tous les deux

vanilla356664, tu as vraiment recopié ton énoncé mot à mot ? sans faire de raccourci ?

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 14:05

oui! j'ai simplement coupé la suite des questions qui ne me sont pas utiles

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 30-11-22 à 14:07

Cela n'a guère d'importance pour résoudre le problème, mais il fut indispensable que cela fut dit dans l'énoncé.

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 02-12-22 à 13:23

Ah désolé..
pour revenir au 2, je ne vois pas comment dériver..
la fonction est de la forme u'v+uv' mais je ne vois pas comment dériver ln(100/p)

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 02-12-22 à 13:40

Bonjour

Voilà justement l'intérêt de la précision indiquée

Vous savez donc que la variable est p

T(p)=8264 \ln\left(\dfrac{1}{p}\right)

8264 est une constante, T est donc plutôt de la forme kuk=8264 et u(p)=\ln \left(\dfrac{1}{p}\right) , par conséquent T'=ku'
On peut aussi utiliser ce que vous avez appris sur les logarithmes

a>0  $ et $ b >0\quad \ln \dfrac{a}{b} = \ln a-\ln b

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 02-12-22 à 13:58

Je ne pourrais continuer que vers 17 h.

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 02-12-22 à 13:59

je n'ai pas encore vu la formule ku'
je dois simplement faire 8264*ln(0/1) ?

et je ne comprends pas pourquoi vous avez mis 1/p

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 02-12-22 à 17:22

Erreur de ma part, c'est évidemment \dfrac{100}{p} qu'il faut lire.

Vous connaissez la dérivée de uv\quad (uv)'=u'v+v'u

maintenant si u(x)= k alors u'(x)=0

et donc en appliquant la formule à kv \  (kv)'=0\times v+kv'

Ce n'est donc qu'un cas particulier de (uv)'

\ln  \left(\dfrac{100}{p}\right)=\ln 100-\ln p

Vous connaissez la dérivée de la fonction \ln

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 02-12-22 à 21:34

pour cela j'avais compris,
si je reprends on a u(x)=8264 u'(x)=0
v(x)=ln(100/p) v'(x)=ln(???)

si je dérive v(x) ça me fait ln(0/1) mais c'est indéfinie.. c'est ça ma question

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 02-12-22 à 21:39

si je reprends ce que vous avez dit on a :
T'(x)=0*ln(100/p)+8264*ln(100)-ln(p)
T'(x)=0+ln(100^8264)-ln(p)
T'(x)=ln(100^8624/p)

cela est-il correcte?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 02-12-22 à 22:29

La dérivée de \ln u  est  \dfrac{u'}{u}

On cherche \left(\ln\left(\dfrac{100}{p}\right)\right)'

en posant u(p)= \dfrac{100}{p} \quad u'(p)=\dfrac{-100}{p^2}

donc \left(\ln\left(\dfrac{100}{p}\right)\right)'=\dfrac{\dfrac{-100}{p^2}}{\dfrac{100}{p}}

Je vous laisse simplifier

en reprenant le message de 21 : 39


T(p)=8264\left(\ln\dfrac{100}{p}\right)=8264 (\ln 100 - \ln p)=8264 \ln 100 -8264 \ln p

maintenant on dérive   le premier terme a pour dérivée 0 puisque c'est une constante

et la dérivée de p\mapsto \ln p est p \mapsto \dfrac{1}{p}

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 03-12-22 à 19:40

donc on a
T(x)'= 0*(-1/p)+8624*ln(100/p)
T(x)'=0+8624*(ln(100)-ln(p))
?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 03-12-22 à 20:23

T(p)=8264\left(\ln\dfrac{100}{p}\right)

a>0  $ et $ b >0\quad \ln \dfrac{a}{b} = \ln a-\ln b , Par conséquent, \ln \dfrac{100}{p}=\ln 100-\ln p

On obtient donc

T(p)=8264 (\ln 100 - \ln p)=8264 \ln 100 -8264 \ln p

T est donc de la forme U+V avec   U(p)=8264 \ln 100 \quad U'(p)=0 dérivée d'une fonction constante

et  V(p)=-8264 \ln p \quad V'(p)=-8264 \times \dfrac{1}{p}

Conclusion T'(p)= -\dfrac{8264}{p}

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 02:27

d'accord merci infiniment !
pour la question 3.a il suffit juste de remplacer p par 0,5?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 09:33

Bien compris le calcul de la dérivée ?  
Oui

3 b ?

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 12:16

3b)  A l'aide des données chronologiques donnés, à quelle espère d'hommes préhistoriques appartient ce squelette ?

australopithèque : -4,2 a -2,5Ma
homo habilis : -2,4 a -1,6Ma
homo erectus : -1,9Ma a -300000ans
homme de neandertal : -350000 a -35000 ans
homo sapiens : -35000ans

j'ai trouvé que -8264/0,5= -16528
j'en déduis que c'est un homo sapiens
?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 12:55

L'âge est donné par T

T(p)=8264\times \ln \dfrac{100}{p}

si p=0,5 on obtient T(0,5)=43785

On ne considère que le numérateur de la fraction de dénominateur 100

Si p=0,005 on obtient 81842  

on considère la fraction \dfrac{0,5}{100}

Je dirais donc homme de Néandertal

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 13:24

J'ai trouvé ce texte.

Il est bien dit que T est une fonction de p. p n'est que le numérateur  


dans 0,5 %  p=0,5

fonction logarithmique sur le carbone 14

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 13:40

oui c'est exactement ça,
j'ai bien compris mais pourquoi homme de neandertal si le résultat trouvé est positif ?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 13:56

Cela dépend de l'origine du repère

Si vous considérez en partant du squelette trouvé, il a bien un peu plus de 42 000 ans, en revanche, il est bien né il y a -42 000 ans,   dans ce cas, c'est vous l'origine du repère

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 14:21

d'accord je comprends tout à fait alors!
pour la question 4, je cherche p
donc :
T(p)=8264*(ln100-ln p)
1/8264=ln100-ln p
1/8264-ln100= ln p
on supprime les ln
donc 1/8264-100= p ?
je ne sais juste pas où placer le T..

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 14:29

On a à résoudre

2500=8264 \ln\left(\dfrac{100}{p}\right)

équation en p

Comment résolvez-vous une équation avec des \ln ?

D'où sort le 1 ?  on n'a pas dit T(p)=1

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 15:38

oui effectivement, j'ai du mal à isoler

p=8264*ln(100*2500) ?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 15:46

Non

\ln \left( \dfrac{100}{p}\right)= \dfrac{2500}{8264}\approx 0,302517

On applique la fonction exponentielle aux deux membres  \dfrac{100}{p}=\text{e}^{0,3025}\approx 1,35326

d'où  p=

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 15:53

p = 100/1,35 = 74% ?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 16:01

\approx 74  soit 74 %

oui

D'accord pour la résolution ?

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 16:07

oui parfait !
pour la 5.a) il n'y a pas de calcul à faire ? si il y a plus de radioactivité dans le crâne B forcément il est plus radioactif donc plus jeune ? crâne A < crane B

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 16:14

Utilisez la définition d'une fonction décroissante

p_A> p_B  \Rightarrow T(p_A)<T(p_B)

On a donc bien l'âge du crâne A est inférieure à l'âge du crâne B.

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 16:33

parfait
et pour la 5b je n'ai pas vraiment compris, quels chiffres dois-je utiliser ?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 16:40

T(p) =8264\ln \left(\dfrac{100}{p}\right)

T(2p) =8264\ln \left(\dfrac{100}{2p}\right)

Calculez la différence entre les 2.

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 17:02

donc on ne considère pas que p a une valeur ?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 17:13

Non, d'ailleurs peu nous chaut cette valeur. La différence sera la même

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 17:44

d'accord en gros,
T(p)=8264*ln(100/1) ?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 17:56

Non

8264\ln \left(\dfrac{100}{p}\right)-8264\ln \left(\dfrac{100}{2p}\right)=8264\Bigg(\ln \left(\dfrac{100}{p}\right)-\ln \left(\dfrac{100}{2p}\right)\Bigg)

=8264 \left(\ln\dfrac{ \left(\dfrac{100}{p}\right)}{\left(\dfrac{100}{2p}\right)}\right)

or \dfrac{\left(\dfrac{100}{p}\right)}{\left(\dfrac{100}{2p}\right)}=

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 18:03

=2 ?

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 18:07

Oui

la différence vaut donc  8264 \ln 2

Vous voyez bien que la valeur de  p n'avait aucune importance

Posté par
vanilla356664
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 18:20

super!
merci infiniment pour votre aide je vous en suis très reconnaissant, bonne soirée à vous

Posté par
hekla
re : fonction logarithmique sur le carbone 14 04-12-22 à 18:25

Vous pouvez aussi vérifier vous avez calculé avec un pourcentage de 0,5 vous pouvez le calculer avec un pourcentage de 1 et faire la différence.

De rien



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