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Niveau terminale
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Fonction réciproque

Posté par
zartos
15-12-16 à 23:12

Bonsoir,

f(x)= \sqrt{\frac{ sinx }{1 - cosx }}

f'(x)= \frac{-1}{2(1 - cosx) f(x)}

f réalise une bijection de ]0,pi] sur ]0,+infini[

On note g la réciproque de f et on veut calculer g'(x).

C'est mon tout premier exercice dans ce chapitre et je n'ai pas trop bien compris le principe.

Merci d'avance.

Posté par
barbubabytoman
re : Fonction réciproque 15-12-16 à 23:16

Bonjour, connaissez-vous la formule de la dérivée de la bijection réciproque d'une fonction bijective ?

Posté par
zartos
re : Fonction réciproque 15-12-16 à 23:20

g'(x)= 1/f'(y) avec y=g(x).

Celle-là?

Posté par
zartos
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 09:21

Personne ?

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 11:29

Bonjour,

Avec y>0 quelconque, il y a des difficultés.

Par contre, si on  te demande g'(a) avec a donné,  c' est plus simple.
Est-ce le cas ?

Posté par
zartos
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 11:51

Non ce n'est pas le cas. Par contre il m'a donné le résultat

g'(x)=\frac{-4x}{1+x^4} qu'on doit démonter.

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 14:45

A ce moment là, il est plus pratique d' écrire f(x) sous une autre forme:

Sur ]0,\pi[, f(x)=\sqrt{\dfrac{\sin\,x}{1-\cos\,x}}=\sqrt{\dfrac{2\,\sin\,\frac{x}{2}\,\cos\,\frac{x}{2}}{2\,\sin^2\frac{x}{2}}}

f(x)=\sqrt{\text{cotan}\,\dfrac{x}{2}}

Du coup, g(x)=2\,\text{arccot}\,x^2 sur ]0,+\infty[

ou g(x)=2\,\arctan\,\dfrac{1}{x^2} si tu préfères.

Reste plus qu' à dériver.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 15:07

Bonjour,
Il est assez facile de trouver g '(x) = -2 (1-cos y) x avec y = g(x) .

g '(x) = -4x / (1+x4) n'est alors pas très loin

Il reste à démontrer que 1-cos y = 2 / (1+x4) :

x = f(y) donc x2 = sin y / (1 - cos y) . D'où 1+x4 = ..... = 2 / (1-cos y)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 15:11

Bonjour lake,
La dérivée de arctan ne me semble pas être au programme de terminale...
Mais il est certain qu'il y a du tangente cachée dans l'exercice !

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 15:15

Si tu tiens absolument à utiliser ta formule, mais toujours avec la nouvelle forme de f(x):

y=f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\tan\,\frac{x}{2}}}

Après calculs:

f'(x)=\dfrac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{4\,\tan\,\frac{x}{2}\sqrt{\tan\,\frac{x}{2}}}

On a  \tan\,\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{y^2}

Du coup, ta formule donne avec y>0:

g'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}  avec \tan\,\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{y^2}

g'(y)=\dfrac{4\,\frac{1}{y^2}.\frac{1}{y}}{1+\dfrac{1}{y^4}}=-\dfrac{4\,y}{1+y^4}

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 15:17

Ah Sylvieg, bonjour, je n' avais pas vu!

Ta méthode est certainement celle attendue!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 15:30

Peut-être, mais le cheminement n'est pas vraiment facile à trouver si on ne connaît pas le résultat

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 15:33

Moi non plus, je n'avais pas vu ton message avec arctan quand j'ai posté ma méthode.

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 16:22

Bon, j' ai oublié des signes "-"

f'(x)=-\dfrac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{4\,\tan\,\frac{x}{2}\sqrt{\tan\,\frac{x}{2}}}

g'(y)=-\dfrac{4\,\frac{1}{y^2}.\frac{1}{y}}{1+\dfrac{1}{y^4}}=-\dfrac{4\,y}{1+y^4}

Posté par
zartos
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 17:30

Merci beaucoup à vous deux!
Et oui lake, on n'a malheureusement pas les réciproques des fonctions trigonométriques dans notre programme.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fonction réciproque 16-12-16 à 18:43

De rien, et à une autre fois sur l'île



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