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Fonction réciproque

Posté par
zartos
24-12-16 à 19:14

Salut,

Je voudrais savoir quelle est la meilleure méthode pour calculer la dérivée d'une fonction réciproque non explicitée ?

Exemple: on a f explicitée et on veut calculer (f^-1)' sans avoir explicité f^-1

Merci d'avance.

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 24-12-16 à 19:40

Bonsoir,

(f^{-1}(a))'[url][/url]=\dfrac{1}{f'(b)} où  b=f^{-1}(a)

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 24-12-16 à 19:42

Aïe!

(f^{-1}(a))'=\dfrac{1}{f'(b)} où  b=f^{-1}(a)

Posté par
zartos
re : Fonction réciproque 24-12-16 à 19:50

Oui mais c'est un peu compliqué quand on a affaire à des fonctions trigonométriques vu qu'on n'a pas le droit d'utiliser leurs réciproques.

Y'a t-il pas une meilleure idée ?

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 24-12-16 à 19:59

Si on parle de fonctions réciproques, c' est qu' on a affaire à des bijections.
Bref, les domaines de départ et d' arrivée sont cruciaux.
En général, si on te demande de déterminer (f^{-1})'(a), c' est que tu peux facilement trouver l' antécédant (unique) de a par f sur le domaine considéré sans faire appel aux fonctions réciproques.

Pour t' en dire plus, il faut un exemple concret...

Posté par
zartos
re : Fonction réciproque 24-12-16 à 20:27

f(x)= \frac{1}{1+cos(2x)}.

f'(x)= \frac{2sin(2x)}{(1 + cos(2x))^2}

On note g la réciproque de f

f(y)= x g(x)= y et x ]0 , pi\4 ] on a g'(x)= \frac{1}{f'(y)}.

f(y) = x \frac{1}{1+cos(2x)} = x (1 + cos(2y))^2 = \frac{1}{x^2}.

On a de plus d'après les deux équivalences précédentes:

cos(2y)= (1/x) - 1

cos^2(2y) + sin^2(2y) = 1 ... sin(2y) = \sqrt{2 - (1/x)}

D'après ce qui noté en rouge:
(f^-1)'(x) = \frac{1}{x^2 \sqrt{2 - (1/x)}}

Je sais pas si mon travail est correct mais il y'a sûrement un chemin plus facile.

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 24-12-16 à 21:19

Plus "facile", pas vraiment; c' est toujours un peu pénible...

Je suppose, vu ce que tu as écrit, que f définit une bijection de \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right] sur \left]\dfrac{1}{2};1\right] (il faut toujours préciser les domaines)

J' obtiens g'(x)=\dfrac{1}{2x\sqrt{2x-1}}

Tu as du commettre une erreur...

Posté par
zartos
re : Fonction réciproque 24-12-16 à 21:31

Évidemment, j'ai oublié un carré dans mon travail
Merci beaucoup et Bonnes fêtes!

Posté par
lake
re : Fonction réciproque 24-12-16 à 21:34

Bonnes fêtes à toi zartos



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