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Fonctions

Posté par
matheux14 08-08-20 à 12:03

Bonjour ,

Merci d'avance.

On considère la fonction f définie sur \R par : f(x)=\dfrac{2x²+1}{x²+1}.

Démontrer que x \in \R , 1 \leq f(x) \leq 2.

Réponses

Alors j'ai choisis deux valeurs a et b différentes dans [1;2].

Et j'arrive à \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{\dfrac{(2a²+1)(b²+1)-(2b²+1)(a²+1)}{(a²+1)(b²+1)}}{a-b}=\dfrac{[(2a²+1)(b²+1)-(2b²+1)(a²+1)](a-b)}{(a²+1)(b²+1)}

J'aimerais savoir si je suis sur la bonne voie pour continuer..

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonctions 08-08-20 à 12:09

bonjour, non ta démarche est beaucoup trop compliquée.

il te suffit de poser 1 \leq \dfrac{2x²+1}{x²+1} \\ de résoudre l'inéquation et de montrer qu'elle est bien vérifiée pour tout x.

pareil pour l'autre coté.

Posté par
heklare : Fonctions 08-08-20 à 12:10

Bonjour

Dans un autre message, on vous avait conseillé d'étudier la fonction

ici x\mapsto \dfrac{2x^2+1}{x^2+1}

Vous montrerez qu'elle admet un minimum en 0 qui vaut 1 et que la limite en l'infini est 2

remarque f est paire

Posté par
heklare : Fonctions 08-08-20 à 12:13

Bonjour Glapion

Je supposais connu la dérivée  or ce n'est pas le cas
résolvons les inéquations

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 12:14

bonjour à tous
encore une autre idée : 2x²+1=x²+x²+1
et c'est plus que vite fait ....

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 12:26

2x²+1=x²+1

2x²-x²=0

x²=0

x=0

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 12:28


puisqu'il faut mettre les points sur les i
f(x)=\dfrac{2x²+1}{x²+1}=\dfrac{x^2+x^2+1}{x^2+1}=\dots.

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 12:34

Qu'est ce que je dois faire ?

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 12:36

ouvrir tes yeux !
coupe la fraction en 2 ....de manière "intelligente" pour que ça serve à quelque chose pour ton exo

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 12:36

f(x)=\dfrac{x²}{x²+1}+1

Posté par
carpediemre : Fonctions 08-08-20 à 12:47

salut

matheux14 : quand et pourquoi calcule-t-on [f(b) - f(a)]/(b - a) (ce qu'on t'a demandé dans un autre post) ?

pour aller dans le sens de malou  :

1/ je ferai une remarque triviale mais importante au sujet de f ..

2/ je dirai simplement que x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 \le 2x^2 + 2 (en justifiant un chouilla)

3/ ... réfléchir ... comme te le demande malou pour obtenir immédiatement la réponse ...



le classique (quand on ne voit pas les choses) est de revenir aux fondamentaux comme te le propose presque Glapion : pour montrer que a < b on étudie le signe de b - a (et on montre qu'il est positif) (et non pas on résout une inéquation ... même si c'est plus ou moins semblable dans un tel cas)

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 13:10

x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 \le 2x^2 + 2 \iff 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2x²+2 \iff  1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2  car x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 \iff x²\le 0

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 13:15

tu t'es relu avant d'envoyer ?

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 13:21

Oups , une erreur de LaTeX..

x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 \le 2x^2 + 2 \iff 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2x²+2 \iff  1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2  car x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 \iff x²\ge 0

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 13:29


x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 \le 2x^2 + 2 \iff 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2x²+2 \iff  1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2  car 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1}

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 13:32

je ne comprends pas grand chose
moi, j'avais appris que quand je divisais un membre d'une inégalité par une quantité (strictement positive ici) , je devais diviser les autres membres aussi...
mais là règle a peut-être changé...

Posté par
carpediemre : Fonctions 08-08-20 à 13:41

en plus de l'erreur relevée par malou :

tout d'abord des implications suffisent (voir l'autre fil ou je "traduis" le msg de malou en implication )

ensuite tu ne justifies pas la conservation du sens des inégalités (du moins pour la première implication) ce qui est un point fondamental !!!

enfin tu n'as pas justifié "complètement" la première double inégalité ... (enfin point moins important) ...

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 13:43

Désolé

x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 \le 2x^2 + 2 \iff 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le \dfrac{2x²+2}{x²+1} \iff  1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le \dfrac{2(x²+1)}{x²+1} \iff 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 13:45

Ok carpediem

Posté par
carpediemre : Fonctions 08-08-20 à 13:53

justification ?

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 14:10

Quelle justification ?

Posté par
carpediemre : Fonctions 08-08-20 à 14:16

carpediem @ 08-08-2020 à 13:41

ensuite tu ne justifies pas la conservation du sens des inégalités (du moins pour la première implication) ce qui est un point fondamental !!!.

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 14:28

x \in \R , 2x²+1 \geq 0 et  x²+1 \geq 0.

Donc x\in \R , f(x)\geq 0.

D'où la conservation des inégalités.

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 14:55

on n'a pas besoin du signe du quotient, tu ne fais pas assez attention aux questions réellement qu'on te pose, elles sont précises...on n'a pas besoin du signe du quotient, tu ne fais pas assez attention aux questions réellement qu'on te pose, elles sont précises...

matheux14 @ 08-08-2020 à 13:43

Désolé

{\red{\underbrace{x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 }_{\text{ pourquoi ? }}}}\le 2x^2 + 2 {\red{\underbrace{\iff }_{\text{ pourquoi ? }}}}1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le \dfrac{2x²+2}{x²+1} \iff 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le \dfrac{2(x²+1)}{x²+1} \iff 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2

Posté par
heklare : Fonctions 08-08-20 à 15:06

Je ne comprends pas trop tous ces calculs
En tenant compte de la remarque de malou

\dfrac{2x^2+1}{x^2+1}=\dfrac{1}{x^2+1}+1

Comme on ajoute un nombre strictement positif  on a bien quelque chose de plus grand que 1

\dfrac{2x^2+1}{x^2+1}=\dfrac{2x^2+2-1}{x^2+1}=2-\dfrac{1}{x^2+1}

Comme on enlève un nombre strictement positif  on a bien quelque chose de plus petit que 2

d'où l'encadrement

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 15:36

bon...on lui a donné tellement de méthodes, qu'il en est paumé...
mon idée était encore plus "simpliste" que ce que tu rappelles hekla

f(x)=\dfrac{2x²+1}{x²+1}=\dfrac{x²+x²+1}{x²+1}=1+\dfrac{x²}{x²+1}

donc f(x) \ge 1 et depuis le collège on sait que cette fraction \dfrac{x²}{x²+1} est inférieure à 1 d'où la somme avec 1 qui est inférieure à 2
et c'était fini


bon il a le choix des méthodes maintenant !

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 16:53

J'aimerais bien continuer ainsi mais les pourquoi me dérangent .. Je réponds normalement à la question précédente de carpediem à 14h28..


Citation :
{\red{\underbrace{x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 }_{\text{ pourquoi ? }}}}\le 2x^2 + 2 {\red{\underbrace{\iff }_{\text{ pourquoi ? }}}}1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le \dfrac{2x²+2}{x²+1} \iff  1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le \dfrac{2(x²+1)}{x²+1} \iff 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 17:01

oui oui, tu as raison de vouloir finir aussi cette méthode, cela te fait réviser des choses...

> pourquoi peux-tu dire que x²+1 2x²+1 ?

> pourquoi peux tu tout diviser par x²+1 ?

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 17:05

> Parce que x²≤ 2x²

> Parce que x²+1 ≠0

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 17:08

1) pourquoi ce serait vrai ça , montre le !
2) non, mal justifié

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 17:27

1) x²+1 2x²+1 \iff 1-1   2x²-x² \iff 0 ? x².

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 17:38

x²0 donc x²+1 ≤ 2x²+1 oui, c'est ça (ne mets pas des équivalences partout)
oK pour la 1

et la 2 ?

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 18:01

Je ne sais pas vraiment , parce que déjà si x²+1 =0 alors ...

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 18:02

ok
je te dis : 2 < 3 je suppose que tu es d'accord !
divise par -1
.....qu'obtiens-tu ?

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 18:23

Alors -2 > -3 ..

Mais c'est justement ce que je voulais dire par là euh..

matheux14 @ 08-08-2020 à 14:28

x \in \R , 2x²+1 \geq 0 et  x²+1 >0

Donc x\in \R , f(x)\geq 0.

D'où la conservation des inégalités.

Posté par
carpediemre : Fonctions 08-08-20 à 18:34

hekla : ton msg (faux)

hekla @ 08-08-2020 à 15:06

Je ne comprends pas trop tous ces calculs

\dfrac{2x^2+1}{x^2+1}=\dfrac{\cancel {1} \red x^2}{x^2+1}+1

Comme on ajoute un nombre strictement positif  on a bien quelque chose de plus grand que 1

\dfrac{2x^2+1}{x^2+1}=\dfrac{2x^2+2-1}{x^2+1}=2-\dfrac{1}{x^2+1}

Comme on enlève un nombre strictement positif  on a bien quelque chose de plus petit que 2
et
matheux14 @ 08-08-2020 à 13:43

x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 \le 2x^2 + 2 => 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le \dfrac{2x²+2}{x²+1} => 1\le \dfrac{2x²+1}{x²+1} \le 2
sont équivalents : il n'y a a quasiment aucun calcul puisqu'on travaille avec des expressions littérales  ou on écrit simplement 2 = 1 + 1 ou encore on n'effectue pas une division on écrit un quotient

seulement dans ton msg tu justifies alors que matheux14 ne justifies pas pourquoi il écrit .... ce qu'il écrit

c'est pourquoi "on perd son temps" avec lui car :

1/ il est désireux d'apprendre et bien travailler et fais des efforts
2/ cependant il est important d'insister sur certains points comme le prouve sa réponse à mes demandes

quant à son msg de 17h27 c'est ça  ... sans ête ça tout en étant ça !!! c'est effectivement très mal rédigé !!!

comme on te l'a dit plusieurs fois arrête de travailler avec des équivalences : un raisonnement consiste en : si blabla alors truc qui se "traduit" par une implication !!!

donc pour arriver à une vérité on pat d'une autre vérité :

vérité 1 : \foral x \in \R  :  x^2 \ge 0

donc vérité 1 => x^2 + 1 \le x^2 + 1 + x^2

donc vérité 2 : x^2 + 1 \le 2x^2 + 1

de même :

vérité 1 : 0 \le 1

donc vérité 1 => 2x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 + 1

donc vérité 2 : 2x^2 + 1 \le 2x^2 + 2

REM : c'est simplement l'application de la règle du collège : $ si $ a \le b $ alors $ \forall c  : a + c \le b + c

ainsi dans le premier cas son application donne :

vérité 1 : 0 \le x^2 => 0 + x^2 + 1 \le x^2 + x^2 + 1 => x^2 + 1 \le 2x^2 + 1 : vérité 2

matheux14 : par contre il est tmps de mettre en praitque ce que je dit ici Composée d'une fonction sur une intervalle. : faire des mathématiques ce n'est pas faire des quantités d'exercices c'est retirer quelque chose de tout exercice !!!

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 18:52

matheux14 @ 08-08-2020 à 18:23

Alors -2 > -3 ..

Mais c'est justement ce que je voulais dire par là euh..

matheux14 @ 08-08-2020 à 14:28

x \in \R , 2x²+1 \geq 0 et x²+1 >0

Donc x\in \R , f(x)\geq 0.

D'où la conservation des inégalités.


OK, mais alors il ne faut pas rédiger comme ça !
là tu mets toutes les hypothèses, et tu conclus

tu dois utiliser la bonne hypothèse au bon moment ! sinon, autant recopier ton énoncé et dire "donc" et donner la conclusion !

comprends-tu la différence ? juste ce qu'il faut au bon moment

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 19:21

Citation :
c'est pourquoi "on perd son temps" avec lui ..


Ah bon ?

OK.

Posté par
matheux14re : Fonctions 08-08-20 à 19:31

Citation :
faire des mathématiques ce n'est pas faire des quantités d'exercices c'est retirer quelque chose de tout exercice !!!


Je le sais .. Mais qu'est ce qui vous fait dire que je ne retire rien de ces exo ?

Le résultat d'un exo ne m'importe jamais.. mais ma compréhension et la manière dont on le résoud !

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-08-20 à 20:17

l'expression de carpediem est mal choisie, on ne perd pas notre temps...tu as progressé depuis tes premiers exercices sur notre site
tu combles tes lacunes tout doucement, et tu as appris des choses

nous sommes des "aidants" , on va dire "un plus" , mais en aucun cas nous ne sommes responsables ni de ton éducation ni de ton instruction

de toutes façons, si on t'aide, c'est qu'on veut bien...personne ne nous oblige !

Posté par
heklare : Fonctions 08-08-20 à 20:55

Oui erreur dans la frappe.
Certes c'est la même chose mais comme on ne sait pas d'où l'on part  c'est peu clair.

Je pensais que le style « sms » n'était pas en usage sur le  forum.

Posté par
carpediemre : Fonctions 08-08-20 à 21:26

matheux14 : comme le dit malou on "perd son temps" parce qu'on le veut et surtout parce que tu nous montres de l'envie et du travail donc pour nous c'est un plaisir de te voir avancer (avec toutes les maladresses inhérentes à ta jeune expérience) et de (vouloir) t'aider ...

si tu préfères remplace "perd" par "passe" et comme je les dit ce n'est pas une contrainte (pour nous) mais une envie parce que tu en veux !!

à nouveau comme l'a dit malou lis bien ce qu'on écrit : pense-le, réfléchis-le et digère-le !!! et tu verras que tu progresseras encore plus vite avec un savoir solide !!!

hekla @ 08-08-2020 à 20:55

Je pensais que le style « sms » n'était pas en usage sur le  forum.
honnetement dans mon long msg !!! vois-tu autre chose que cette seule abéviation et où y vois-tu encore du sms ? ... soyons sérieux !!! et raisonnable !!!

PS : et si tu lis mes msg !!! tu verras que régulièrement j'y mentionne l'importance du français pour apprendre et savoir exprimer les choses dans la langue "profane"  !! et que je privilégie toujours un raisonnement en français 'ou du moins sans ce symbolisme plus souvent kabbalistique et qui masque la méconnaissance et l'incompréhension des choses ... je ne citerai pas de les nombreux pseudos que j'ai en tête ...


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