Bonjour,
Les 2 polynômes sont factorisables par (x+1). On peut donc simplifier l'écriture de la fonction...

Auriez-vous une méthode s'il vous plaît car je n'y arrive pas.
L'objectif est bien de factoriser le polynôme de degré 4 en 2 polynômes de degré 2 ?

Bonjour

Sans parenthèses et en respectant les règles de priorité entre opérations on comprend :



Est ce vraiment la bonne expression ?

Lire la FAQ

Non, on me demande dans mon enoncé de donner le tableau de variation.
Je dérive donc la fonction qui est sous la forme de u/v
f(x) = (2x^3 - x^2 + 3) / (3x^2 + x - 2)
Mes excuses.

Et en derivant donc j'ai obtenu ceci :
f'(x) = (6x^4 + 6x^3 -15x^2+4x+3) / (3x^2 +x-2)^2

Pour factoriser un polynôme de degré supérieur à 2 on commence par rechercher une racine simple en essayant quelques entiers -1, 1, -2 ou 2.
Si on trouve une racine a, alors le polynôme est factorisable par (x-a).
Ici, les deux polynômes s'annulent pour x = -1.
On peut donc les factoriser par (x+1).
On peut alors poser :  2x³ - x² + 3 = (x+1)(ax²+bx+c) et on recherche les coefficients a, b et c.
Idem pour l'autre polynôme.

Oui effectivement la solution évidente est -1. Ainsi pour le premier polynôme :
a = 2, b= -3 et c= 3
Pout l'autre : a = 3 et b = -2
On a donc :
(x+1) (2x^2 - 3x +3)
Et (x+1) (3x-2)
Comment faire pour la suite ? Afin de donner le tableau de variations ? Je ne dois plus dérivée sous la forme u/v ?

Du coup, la fonction peut être simplifiée en posant, pour x-1 :



La dérivée est alors plus facile à calculer et son signe plus facile à déterminer ...

Remarque : si on veut, on peut poser f(-1)=-8/5, de façon à prolonger la fonction par continuité. Mais je doute que cela soit au programme de terminale

** image supprimée ** Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
Merci beaucoup pour votre aide.
Par contre pourriez-vous vérifier mon tableau de variation s?il vous plaît car j?ai l?impression qu?il n?est pas correct ? Merci

Bonsoir, merci infiniment pour votre aide, cependant j'ai un doute concernant mon tableau de variation. En dérivant la fonction j'optiens :
(6x^2-8x-3) / (3x-2)^2
On a un polynôme du 2nd degré au numérateur donc en calculant le discrimiant j'ai les racines suivante : 4+ (racine carré) de 34 divisé par 6 et l'autre c'est 4- ...
du coup la fonction est d'abord croissante  avec comme première image -1,41 puis décroissante avec l'autre image = 1,18 puis croissante à nouveau.
On me demande combien de solution à l'équation f(x)=2
Mais c'est sur l'intervalle ] (4+ racine carré de 34 divisé par 6) ; (+l'infini) qu'il fait regarder non ?

* Désolé pour mes phrases.  

Quelqu'un pourrait me répondre s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

Ton tableau de variation est correct.
Pour l'équation f(x)=2, le tableau de variation permet de voir qu'il y a 2 solutions :
-> la première sur l'intervalle
-> la seconde sur l'intervalle

D'accord, par contre je ne comprends pas pourquoi f(x)= 2 a une solution dans la première intervalle ? Elle admet un minimum = 1,18 ? C'est après qu'elle croit donc sur l'autre intervalle non ?

D'après ton propre tableau de variation (qui est juste même s'il manque les limites), la fonction f est bien décroissante sur l'intervalle ]2/3 ; (4+34)/6].
Le minimum est bien 1,18 environ.
La limite de la fonction f, à droite, en 2/3, est égale à +.
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe bien, dans cet intervalle, une solution à l'équation f(x)=2.

Par ailleurs, les 2 solutions sont faciles à calculer de façon algébrique.

Bonsoir, merci infiniment pour votre aide
Par ailleurs, pouvez-vous me montrer comment calculer de façon algébrique ? Pour que je m'entraîne dessus car j'ai eu beaucoup trop de mal avec cet exercice merci

Pour calculer les solutions, il suffit de poser l'équation f(x)=2, autrement dit :
.
On obtient facilement les 2 solutions

Merci !