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Fonctions dérivées 4

Posté par Profil Devoirs33 26-10-21 à 16:18

Bonjour à tous,

J'aimerai de l'aide/correction pour cette exercice. Merci.

Exercice 1 :

a)Ecrire la dérivée de la fonction f sous une forme factorisée au maximum.
On admettra qu'elle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition D = R*
f(x) = \frac{x^{4}}{-4} + \frac{1}{x^{4}}
On pose u(x) = x^4  u'(x) = 4x^4-1 = 4x^3
v(x) = x^4/-4 ?  
w(x) = 1/x^4   w'(x) = -1/x^6

b) Quelle est la dérivée de la fonction f ?
On admettra qu'elle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition D=] 0 ; + l'infini[

On pose u(x) = (4x + 3)   u'(x) = 4
v(x) = \sqrt{x}  v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

f'(x) = 4 + 1/2Vx ( racine carrée de x) = 8Vx + 1/2Vx


c)Déterminer une équation de la tangente à la courbe
représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = \frac{-9x-6}{-6x+1}

d) Soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = 7x - 8x² - 7

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe C parallèle à la droite d'équation y = x + 5.

e)Quelle est la dérivée de la fonction f ?
On admettra qu'elle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition D = ] 0 ; + l'infini [
f(x) =(-8x+5)\sqrt{x}

On pose u(x) = -8x + 5   u'(x) = -8
v(x) = Vx   v'(x) = 1/2Vx

f'(x) = (-8 + 1) / 2Vx = (-16Vx + 1) / 2Vx
Merci à tous.

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 16:33

Bonjour

Beaucoup d'exercices 1 ( exercice est un nom masculin donc cet)

\dfrac{x^4}{-4}=\dfrac{-1}{4}x^4

(x^4)'=4x^3

 \left(\dfrac{1}{v}\right)'= \dfrac{-v'}{v^2}

 \left(\dfrac{1}{x^4}\right)'= \dfrac{-4x^3}{(x^4)^2}

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 16:41

b) il faudrait commencer par mettre le texte

Est-ce 4x+3+\sqrt{x} ?

Si oui on a bien pour dérivée 4+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Si vous voulez réduire au même dénominateur il faut mettre des parenthèses

 f'(x)=\dfrac{8\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}

c) f'(x) ensuite vous n'avez pas précisé en quel point

d) que proposez-vous ?

e) (uv)'=u'v+uv'

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 16:43

Désolée de l'oubli  :  oui c'est (4x + 3)\sqrt{3}

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 16:44

Excusez-moi encore une erreur :  (4x + 3) Vx

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 16:45

N'est-ce pas plutôt (4x+3)\sqrt{x}  sinon c'est une banale fonction affine

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 16:47

a)  -\frac{16+x^{9}}{4x^{5}}
b) c'est (4x+3)\sqrt{x}

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 16:51

c) au point d'abscisse 2 ( désolée j'oublie de nombreuses choses aujourd'hui)

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 16:58

u(x)= \dfrac{-1}{4}x^4\quad u'(x)=-x^3

 v(x)=\dfrac{1}{x^4}\quad v'(x)=\dfrac{-4x^3}{x^8}=-\dfrac{4}{x^5}

 f'(x)=-x^3-\dfrac{4}{x^5}=\dfrac{-x^8-4}{x^5}

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:01

a) je trouve : \frac{2x^{8}+8}{x^{5}}

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:13

Détail  ?  Il n'y a que des signes  -

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:17

-x^8-4-x^8-4 / x^5

-2x^8 - 8 / x^5

Posté par
malou Webmaster
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:19

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:21

(-x^8-4-x^8-4) / x^5

(-2x^8 - 8) / x^5

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:29

Pourquoi obtenez-vous -x^8-4 ?

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:35

-x^{3} + \frac{-4}{x^{5}} + \frac{-x^{8}-4}{x^{5}}
je trouve
-\frac{2x^{8}+8}{x^{5}}

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:40

Vous avez dû prendre un = pour un plus

-x^3+\dfrac{-4}{x^5}=\dfrac{-x^8-4}{x^5}

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:45

Ah oui j'ai compris l'origine de l'erreur. Désolée.

b) je me suis trompée sur la fonction : c'est (4x+3)/ Vx
et j'ai trouvé        \frac{8\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:46

Les erreurs se multiplient désolée.

c'est : (4x+3)Vx

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:53

Non

u(x)=4x+3\quad u'(x)=4

 v(x)=\sqrt{x}\quad u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

 f'= u'v+v' u

 f'(x)=4 \times \sqrt{x}+(4x+3)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

 f'(x)=\dfrac{8x+4x+3}{2\sqrt{x}}

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 17:59

vous avez utilisé la formule des produits de 2 facteurs.
Comment savoir quand on les utilise ?

c) "au point d'abscisse 2"

équation tangente: y=f(a) + f'(a) (x-a)
je commence par calculer le taux de variation ?

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 18:07

Oui vous voyez bien qu'il y a un produit de deux expressions en x
donc l'une u l'autre v

Vous n'allez pas recommencer la discussion d'hier

fonction dérivée  f'(x)=

nombre dérivé en 2  f'(2)

équation  de la tangente

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 18:12

f'(2) = \frac{-9*2-6}{-6*2+1} = \frac{24}{11}

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 18:17

Ce que vous avez calculé là, c'est f(2) pas  f'(2)

Ce n'est pas inutile, on en a besoin pour la tangente

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 18:22

Je suis bloquée pour f'(2).

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 18:25

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}

C'est pourtant ce que vous aviez effectué hier

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 18:34

On pose u(x) = -9x-6
On pose v(x) = -6x+1

ainsi, u'(x) = -9
ainsi, v'(x) = -6

(u/v)' = (-9(-6x+1) - (-9x-6)-6)  /  (-6x+1)²
      f'(x)      =  (63x-9) / (-6x+1)² ?

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 18:43

Il faut faire attention à l'écriture

Vous avez pris  - 6  soit la soustraction au lieu de multiplier par (-6) les parenthèses ont un rôle important

f'(x)=\dfrac{-9(-6x+1)-(-6)(-9x-6)}{(-6x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{54x-9 -(54x+36)}{(-6x+1)^2}=\dfrac{-9-36}{(-6x+1)^2}=\dfrac{-45}{(-6x+1)^2}

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 18:52

oui le calcul " en ligne " est moins pertinent que le " Latex ".

y= f(a) + f'(a) (x-a)
y= f(2) + f'(2)(x-2)
y= \frac{24}{11} + \frac{-45}{(-6x+1)²}(x-2)

Ne dois-je pas développer la racine carrée ?

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 18:56

Vous avez déterminé f'(x) il reste encore à calculer f'(2)

 f'(2)=\dfrac{-45}{(-6\times 2+1)^2}

Où voyez-vous une racine carrée ?  Écrivez l'équation de la tangente et simplifiez ce qui peut l'être

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:05

f'(2) = -\frac{45}{121}


y = \frac{24}{11}+\frac{-45}{121}(x-2)
y =\frac{354}{121} - \frac{45}{121x} ?

hekla @ 26-10-2021 à 18:56



Où voyez-vous une racine carrée ?

Désolée, je parlais de l'expression au carrée.

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:09

y =\dfrac{354}{121} - \dfrac{45}{121}x  

Il fallait fermer l'accolade avant x

Posté par
Panurge
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:13

Sauf erreur
***message modéré*** A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Posté par
Panurge
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:17

***message modéré***

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:18

Panurge
Bonsoir,
La forme factorisée  est bien celle énoncée par hekla

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:21

Je vais faire une petite pause de vingt minutes environ

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:22

Ceci dit,

je passe à l'exercice d) Dans cet exercice, je n'ai pas un point d'abscisse précis mais une équation de droite.

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:23

hekla @ 26-10-2021 à 19:21

Je vais faire une petite pause de vingt minutes environ

Pas de soucis.

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:44

À quelle condition deux droites sont parallèles  ?
celui de la droite vaut

celui de la tangente vaut
d'où

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 19:47

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 20:01

Oui

vous avez déjà vu cela dans un exercice

On cherche a tel que le coefficient directeur de la tangente est égal à celui de la droite

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 20:35

oui donc normalement, a = 1 puisque 2 droites ont le même coefficient directeur

Ainsi, y = f(a) + f'(a) (x-a)
y= f(1) + f'(1) (x-1)

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 20:42

non

le coefficient directeur de la droite est 1
le coefficient directeur de la tangente en \alpha est  f'(\alpha)
soit -16\alpha+7

Pour quelle valeur de \alpha a-t-on -16\alpha +7=1

J'ai mis \alpha pour éviter les homonymies

jamais le même nom à des objets différents

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 20:50

-16\alpha + 7 = 1
-16\alpha = 1 - 7
-16\alpha = -6
\alpha = \frac{-6}{-16 }=\frac{3}{8}

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 20:55

D'accord, maintenant il vous reste à écrire l'équation de la tangente à la courbe en \dfrac{3}{8}

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 20:59

y= f(\frac{3}{8}) + f'(\frac{3}{8}) (x-\frac{3}{8})

Est-ce bien cela ? ( ensuite je remplace )

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 21:02

Bien sûr

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 21:11

pour trouver f(3/8), je remplace le remplace par x dans la fonction.

f(x) = 7x - 8x² - 7

f(3/8)= 7* (3/8) - 8*(3/8)²-7 = -\frac{11}{2}

pour trouver f'(3/8), j'utilise (\frac{u}{v})² = \frac{u'v-uv'}{v²}

Pour l'instant, est-ce correct ?

Posté par
hekla
re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 21:17

Où avez-vous vu un quotient dans 7x-8x^2-7 ?

Vous auriez dû remarquer que le calcul de f'(x) a déjà été fait.
Comment aurions-nous pu trouver l'abscisse du point où le coefficient directeur de la tangente valait 1 ?

Posté par Profil Devoirs33re : Fonctions dérivées 4 26-10-21 à 21:23

oui désolée.

f'(\alpha) = -16a+7
comment aviez vous trouvé -16a+7 ?
-\frac{11}{7} -16\alpha+7(x-\frac{3}{8}) ( est-ce cela ? )

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