Bonjour,

Cela implique une notion que tu n'as pas encore vue, qui s'appelle l'intégration, et qui est la réciproque de la dérivation.
L'idée de l'intégration est que, une fonction étant donnée, on cherche toutes les fonctions (il y en a une infinité) dites "primitives", telles que la dérivée d'une des primitives est la fonction de départ.
Et on démontre que les "primitives" d'une fonction constante f(x) = a sont toutes les fonctions affines F(x) = ax+b, où b est une constante quelconque.
Une idée de la démonstration serait de considérer les fonctions F(x) = ax+g(x), g(x) étant à déterminer. Par dérivation, F'(x) = a + g'(x), mais F'(x) = a, donc g'(x) = 0, donc g(x) = b, be constante quelconque, donc F(x) = ax+b

A suivre

...donc g(x) = b, b constante quelconque,...

Mhm j'ai pas tout compris haha mais comment utiliser les termes de tangentes ou de taux d'accroissement pour "remplacer" l'intégration ?

Tu peux faire assez simplement avec les taux d'accroissement, là pas besoin d'intégration.
Suppose que f(x) soit une fonction à taux d'accroissement constant, de valeur a.
Alors, pour tout x₀ et tout x, tu as :
(f(x)-f(x₀))/(x-x0) ) =a
et donc :
f(x) = f(x₀) + a(x-x₀)
ou encore :
f(x) = ax + f(x₀)-ax₀
Ce qui est bien une fonction affine de la forme f(x) = ax+b avec b = f(x₀)-ax₀
Donc toutes les fonctions à taux d'accroissement sont affines.
Il y a même une réciproque, toutes les fonctions affines de la forme f(x) = ax+b sont à taux d'accroissement constant a, je te laisse le démontrer en exercice.

D'aaccord , et le taux d'accroissement a est le même a que le coefficient directeur de la fonction affine c'est ça ?

Oui, et la dérivée de la fonction affine est égale à son taux d'accroissement, ce qui boucle la boucle dans un sens. Pour la boucler dans l'autre sens, tu peux reprendre mon raisonnement précédent :

Haha d'accord merci

LeHibou @ 24-11-2016 à 23:50


Si tu te demandes qui est ce "monsieur Jourdain", je t'expliquerai ça plus tard

En fait, il y a une petite faiblesse dans ma "démonstration" quand j'écris " g'(x) = 0 donc g(x) = b "
Il n'est pas aussi évident que ça que les seules fonctions dont la dérivée est nulle sont les fonctions constantes, mais on ne va pas aller plus loin aujourd'hui

Quant à ce bon monsieur Jourdain, c'est le personnage central d'une pièce de Molière intitulée "Le Bourgeois Gentilhomme".
Dans l'acte II, scène IV, Monsieur Jourdain apprend, au cours d'un échange avec son maître de philosophie, qu'il dit de la prose depuis longtemps, sans le savoir :
« Par ma foi ! il y a plus de quarante ans que je dis de la prose sans que j'en susse rien, et je vous suis le plus obligé du monde de m'avoir appris cela. ».
Par extension, Monsieur Jourdain désigne quelqu'un pratiquant une activité sans même avoir connaissance de son existence.
Cette explication est extraite du lien suivant  :