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Fonctions et asymptotes

Posté par
bechelly 02-06-23 à 19:30

Bonsoir j'ai besoin d'aide dans mon exercice svp.
On désigne par (H) la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=\frac{(m-1)x+m}{x-m}
où
m est un paramétre réel non nul.
1. Montrer que toutes les courbes coupent I'axe (y'Oy) en un même point A et qu'elles
en
admettent la méme tangente en ce point.
2, Exprimer, en fonction de m, les coordonnées du point d'intersection I des asymptotes à
la courbe (H). En déduire le lieu de I quand m varie.

La première question était facile.

Pour la deuxième j'ai calculé les limites aux bornes ouvertes du domaine de définition et j'ai eu y=m-1 est une asymptote horizontale à (H) en -inf et en +inf

J'ai fait le système entre f(x) et cette asymptote et j'ai eu que m=0, or m est un paramètre réel différent de 0.

Posté par
carpediemre : Fonctions et asymptotes 02-06-23 à 19:46

salut

à mon avis tu as mal lu la question : il y a deux asymptotes et on demande leur point d'intersection ...

Posté par
carpediemre : Fonctions et asymptotes 02-06-23 à 19:47

et si tu nous donnais l'ensemble de définition de f ?

Posté par
bechellyre : Fonctions et asymptotes 02-06-23 à 22:15

F est définie lorque x≠ de m

Posté par
bechellyre : Fonctions et asymptotes 02-06-23 à 22:17

Df=]-\infty;m[U]m;+\infty[

Posté par
bechellyre : Fonctions et asymptotes 03-06-23 à 08:26

J'ai refait mon travail.
En effet j'aurai y=m-1 comme asymptote horizontale.

J'ai calculé les limites de x qui tend vers m- et vers m+ et j'ai eu - inf et +inf respecvtivement.
Donc x=m est une asymptote verticale.

Je dois faire le système entre ces deux asymptotes pour trouver leur point d'intersection.

Puisque I appartient à chacune des deux asymptotes, ses coordonnées vérifient les équations des asymptotes.

Donc I(m;m-1)

Et la droite y=x-1 est la le lieu de I lorsque m varie avec m≠0

Est-ce correct?

Posté par
jean3re : Fonctions et asymptotes 03-06-23 à 10:35

Bonjour

je suis de passage
Tu as vu en cours différent type de courbes (par exemple : les paraboles)
Ici de quelle famille de courbes s'agit-il.
Par exemple pour m=2 tu as:

f(x)\, =\frac{x+2}{x-2}

Que peut-on dire des asymptote de ces courbes

Posté par
jean3re : Fonctions et asymptotes 03-06-23 à 10:36

correction: des asymptotes

Posté par
jean3re : Fonctions et asymptotes 03-06-23 à 10:43

Bonjour
Désolé.Je n'avais pas tout lu[/b]. Oui ton résultat est bon.
Comment obtiens-tu l'asymptote horizontale ?

Posté par
bechellyre : Fonctions et asymptotes 03-06-23 à 12:40

Bonjour, c'est une fonction rationnelle, donc c'est une hyperbole.

Pour ce qui est de l'asymptote horizontale j'ai calculé les limites aux bornes ouvertes du domaine de définition et j'ai eu y=m-1 est une asymptote horizontale à (H) en -inf et en +inf en prenant le plus haut degré au numérateur et au dénominateur.


Donc\lim_{x \to +\infty} \frac{(m-1)x}{x} = m-1

De même pour -inf

Posté par
carpediemre : Fonctions et asymptotes 03-06-23 à 13:37

on eut aussi écrire (m - 1)x + m = (m - 1)(x - m) + 2m - m^2

donc f(x) = m - 1 + \dfrac {2m - m^2} {x - m}


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