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Fonctions et Equations différentielles

Posté par
meg12
02-04-12 à 19:23

Bonsoir, j'ai un problème sur un exercice sur le thème des équations différentielles et des fonctions.

Sujet :
On se propose de démontrer qu'il existe une unique fonction f dérivable sur R vérifiant la condition :

f(-x)f'(x)=1, pour tout nombre réel x
et f(0)=-4

(où f' désigne la dérivée de f) et de trouver cette fonction.
On suppose qu'il existe une fonction f satisfaisant la condition précédente, et on considère alors la fonction g définie pour tout réel par g(x)= f(-x)f(x)

Je bloque sur la première question qui est la suivante :
1) Démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur R.

[2) Calculer g'
3) En déduire g constante et donner sa valeur
4) (E): y'=1/16y
Montrer que f est solution de cette équation et vérifie f(0)=-4]

Je ne vois pas comment faire la question 1) vu que l'on a pas la fonction f. Merci de m'aider

Posté par
gymm
re : Fonctions et Equations différentielles 02-04-12 à 21:11

1) S'il existe un reel a tel que f(a) = 0 alors : f(a).f'(-a) = 1 devient impossible , donc f' n'est plus definie pour x = -a ( absurde ) car f est derivable quel que soit le rel x . D'ou f ne s'annule pas sur IR

Posté par
meg12
re : Fonctions et Equations différentielles 03-04-12 à 17:18

J'imaginais ca plus complique. Merci beaucoup



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