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fonctions exponentielle
On repique des plants de 1m de haut sous une serre.
On sait que la taille maximale de ces plants est de 1m.
On note f(t) la taille, en m, d'un plant après t jours.(On a donc f(0)=0.1)
Le modéle de Verhulst consiste à considerer que la vitesse de croissance de la plante evolue suivant la relation:
f'(t)=af(t)(1-f(t)) où a est une constante des conditions expérimentales. Autrement dit, f est une solution, sur R+, de l'equation différentielle : y'=ay(1-y)
1) On pose pour tout t de R+ z(t)= 1/ f(t)
Determiner une equation differentielle satisfaite par Z puis la résoudre.
En deduire que pour tout reel t de R+ on a
f(t)= 1/ 9e^-at +1
2)ON observe qu'au bout de 15jours, la plante mesure 19cm.Calculer a.
3)E tudier la limite de f en +
et preciser son sens de variation
4)Au bout de combien de jours la plante depassera t elle 90cm de haut?
salut
z(t)= 1/ f(t)
z'(t)=-f'(t)/[f(t)^2]
or f'(t)=a*f(t)*[1-f(t)]
f(t) different de 0 pour tout t, on a :
z'(t)=-a*[1-f(t)]/f(t)
donc a*z(t)+z'(t)=a*f(t)/f(t)=a
donc a*z(t)+z'(t)=a
equation differentielle du premier ordre.
l'equation differentielle homogene associee est :
a*z(t)+z'(t)=0
donc solution de cette equation homogene :
equation caracteristique :
r+a=0 donc r=-a
z1(t)=A*exp(-a*t), A constante dans R.
z2(t)=1 est solution particuliere de a*z(t)+z'(t)=a
donc les solutions de a*z(t)+z'(t)=a s'ecrivent :
z(t)=1+A*exp(-a*t), A dans R.
or z(t)=1/f(t)
donc f(t)=1/z(t)=1/[1+A*exp(-a*t)]
reste a trouver A.
or f(0)=0,1 donc 1/[1+A*exp(-a*0)]=0,1 donc A=9
donc f(t)=1/[1+9*exp(-a*t)]
2) f(15)=0,19 donc 1/[1+9*exp(-a*15)]=0,19
donc exp(-a*15)=[0,19^-1 -1]/9
donc -a*15=ln([0,19^-1 -1]/9)
donc a=(-1/15)*ln([0,19^-1 -1]/9)
3)a>0 donc lim f(t)=1 quand t tend vers +inf.
f est elle croissante, decroissante ? pour repondre a ca, etude de la derivee...
un tableau de variations serait le bienvenu pour recapituler les resultats de la question 3.
4) resoudre f(t)>=0,9
reponse t>=89
donc c'est au bout de 89 jours que la plante depassera les 0,9 m.
a+
bon allez, je vais resoudre f(t)>=0,9
1/[1+9*exp(-a*t)]>=0,9
les 2 nombres dans l'inegalite sont positifs.
la fonction x->1/x est decroissante sur R+* donc
1+9*exp(-a*t)=<1/0,9
donc exp(-a*t)=<[1/0,9-1]/9
la fonction x->ln(x) est croissante sur R+*
DONC -a*t=<ln([1/0,9-1]/9)
donc comme a>0 on a t>=-(1/a)*ln([1/0,9-1]/9)
donc t>=88,21...
donc comme t est un entier t>=89.
on prend le plus petit donc la solution est t=89.
pour la 3) on peut dire que f est croissante car :
la fonction g x->1/x est decroissante sur R+*
tout comme la fonction h x->1+9*exp(-a*t) definie sur R+.
on a f=g o h donc f est croissante sur R+.
la demonstration avec les derivees reste valable mais elle est calculatoire a toi de voir...
Salut Marine 
,
Alors, je vais tenter de t'aider de mon mieux :
1) On pose pour tout t de :
.
Déterminer une équation différentielle satisfaite par z puis la résoudre.
En deduire que pour tout reel t de on a :
.
Par hypothèse, on a :
et
Ainsi, on obtient :
ainsi (on a dérivé z qui était dérivable comme quotient de fonctions dérivables)
d'où
i.e
donc
Voici une équation différentielle vérifiée par z que l'on sait résoudre. Ses solutions sont les fonctions z définies sur par :
Or, , ainsi, on en déduit que l'expression de f est de la forme :
Il nous reste uiquement à déterminer k.
Par hypothèse, on sait que : f(0)=0,1. On a donc :
d'où
ie
ainsi
On a donc bien :
2) On sait qu'au bout de de 15 jours, la plante mesure 19 cm (soit 0,19 m )[/b]. Calculer a.
Il faut tout d'abord se rappeler que par hypothèse t est exprimé en jour, et f(t) en mètres (d'où ma parenthèse dans ci-dessus 
).
Il suffit ensuite de résoudre l'equation d'inconnue a suivante :
d'où
ainsi
i.e
càd
en utilisant ln()
finalement
Voilà, normalement, les autres questions ne devraient pas te poser de problème .
Si tu as une question, n'hésite pas .
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