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fonctions exponentielles
bonsoir tout le monde,je vous écrit car je suis bloqué dans un problème.alors si quelqu'un pouvait m'aider ca serai gentil.
on désigne par f une fonction dérivable sur 
et par f' sa dérivée.ces fonctions vérifient les propriétés suivantes:
-pr tt x
(f'(x))2-(f(x))2=1
-f'(0)=1
-la fonction f' est dérivable sur
D'apres les questions précèdentes on sait que:
-pour tout x,f'(x)
0
-f(o)=0
-que f''(x)(dérivé seconde)=f(x)
-on pose u=f'+f et v=f'-f
et uo=1 et vo=1
- u'=u et v'=(-v)
1)déduire des deux dernières informations les fonctions u et v
2)en déduire que pour tt x, f(x)=(ex-e-x)*(1/2)
MERCI D'AVANCE.et bonne année au passage
Salut,
1)u'=(f'+f)'=f''+f'=f+f'=f'+f=u
v'=(f'-f)'=f''-f'=f-f'=-(f'-f)=-v
On résoud alors les 2 équations différentielles linéaires du 1er ordre:
(E1):u'=u donne u'-u=0
donc u(x)=k.exp(x)
or u(0)=1
donc u(x)=exp(x)
(E2):v'=-v donne v'+v=0
donc v(x)=K.exp(-x)
or v(0)=1
donc v(x)=exp(-x)
2) u=f'+f et v=f'-f donc u+v=2f' et u-v=2f
donc f=(u-v)/2 et f'=(u+v)/2
D'après le 1) on obtient : f(x)=(exp(x)-exp(-x))/2
(En fait f est lea fonction "sinus hyperpolique" que l'on étudie en Maths Sup ... et f' est la fonction "cosinus hyperbolique ...)
Voilà.................
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