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Fonctions logarithmes
Bonjour,
voilà j'ai un long exercice de math où j'ai réussit la partie A mais la partie B me pose problème :
Pour faire court, il y a deux fonctions:
f(x) = 21,8 - 3,8lnx
g(x) = 4.6 + 0.3x -e^-0,1+2
or on considère la fonction b définie sur l'intervalle [5;35] par b(x) = f(x) - g(x)
Question: Montrer que b est décroissante sur l'intervalle [5;35] (on admettra que g est croissante , sachant que j'ai démontrer dans les questions précédentes que f est décroissante)
Mon travail:
je calcule d'abord f(x) - g(x)
donc b(x) = 21,8 - 3,8lnx - ( 4,6 + 0,3x - e^-0,1x+2)
b(x) = 21,8 - 3,8lnx - 4,6 - 0,3x + e^-0.1x+2
b(x) = 17,2 - 3,8lnx - 0,3x + e^-0,1x+2
Voilà il me semble que l'on ne peut pas plus simplifier , donc maintenant je dérive pour pouvoir étudier son signe :
b'(x) = 0 -3,8 * 1/x - 0,3 + e^-0,1x+2
b'(x) = -3,8/x - 0,3 + e ^-0,1x+2
b'(x) = - 3,8-0,3x/x + e^-0,1x+2
Je bloque à partir de là , je ne vois pas comment réduire encore cette fonctions à moins que j'ai mal calculé b(x)
Merci Beaucoup
b(x) = 21,8 - 3,8lnx - 4,6 - 0,3x + e^-0.1x - 2
b(x) = 15,2 - 3,8lnx - 0,3x + e^-0.1x (pour x > 0)
b'(x) = -3,8/x - 0,3 - 0,1.e^(-0,1.x)
Soit donc la somme de 3 termes < 0 --> b'(x) < 0 sur R*+ et donc b est décroissante.
Sauf distraction. 
bonsoir,
mettre des parenthèses alors
ça ne change pas grand chose à ce que t'a montré J-P
je reprends juste:
ah d'accord, mais donc il n'y a pas besoins de simplifier plus mais du coup comment étudier le signe de -3,8/x - 0,.3 - 0,1*e^{-0,1x+2} ?
Car nous ne pouvons pas factorisé ni faire de discriminant
Doit on prendre les trois termes séparément ? ou résoudre -3,8/x - 0.3 = 0 et -0,1*e^{-0,1x+2}=0 ?
Soit donc la somme de 3 termes < 0 --> b'(x) < 0 sur R*+ et donc b est décroissante.
Sauf distraction.
puisque l'on est sur l'intervalle ]0; +oo[ (dû au logarithme nép.)
excusez moi d'insister mais votre dernière phrase ma laissé perplexe (l'histoire du signe)
j'ai compris que vu que la fonction b(x) admet la somme de 3 terme strictement inférieure à 0 la fonction est donc strictement décroissante sur R et donc aussi sur [5;35] c'est bien ça ?
pas sur IR mais IR*+ attention (le log nép définit sur ]0;+oo[)
oui sinon c'est bien ça, puisque l'on a la somme de trois termes négatifs, b'(x) est forcément négatif même sur ton intervalle d'étude puisqu'il appartient à IR*+
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