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Fonctions polynomiales

Posté par
Kekeee 23-02-22 à 21:00

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide sur la question 2 de cet exercice:

Soit P=\sum_{k=0}^{n}{a_kX^k}[X] tel que P(U).

1. Pour k, on pose:
c_k(P)=\int_{0}^{2\pi}{P(e^{it})e^{-ikt}} dt

Montrer que pour k
:

ck(P)=ak si k[|0,n|]
ck(P)=0 sinon

2. En déduire que P est constant.

Je pensais faire par l'absurde pour la question 2 en supposant que si P était de degrés au moins 1 alors P(U) ne serait pas inclu dans R en s'appuyant sur la question 1 mais c'est cet appuie que je n'arrive pas à avoir. Ou peut-être que je fais fausse route simplement. Merci!

Posté par
carpediemre : Fonctions polynomiales 23-02-22 à 22:22

salut

qu'est-ce que U ?

peux-tu nous montrer 1/ ?

Posté par
Kekeeere : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 08:14

U est le cercle unité.

La 1 est très longue à écrire il y a d'ailleurs une erreur d'énoncé, ce n'est pas ak mais 2akk.

Mais en remplaçant P(eit) par son expression et en faisant entrer l'exponentielle on arrive à l'intégrale de cette somme \sum_{j=0}^{n}{e^{it(j-k)}}.

Après par linéarité j'intervertis somme et intégrale, puis je distingue les cas ou k[|0,n|] et j'arrive à 2a_k
Puis lorsque k[|0,n|] et j'obtiens bien 0.

Désolé n'étant pas très à l'aise avec le latex j'espère que mon explication sera claire.

Posté par
larrechre : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 10:20

Bonjour,

Je me demande si ce n'est pas plutôt un facteur 1/(2) qui a été oublié devant l'intégrale. Car le truc fait penser au développement en série de Fourier d'un polynôme.

Ce n'est qu'un idée, car je laisse les spécialistes éventuellement poursuivre.

Posté par
Kekeeere : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 10:33

Ce qui est sûr c'est qu'il manque bien un facteur 2.
Développement en série de Fourier? Je ne connais pas.

Pour montrer que P est constant comment s'y prendre?

Posté par
larrechre : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 10:38

Si tu n'as pas encore vu cela en cours, alors c'est que mon idée n'est pas bonne. Désolé.

Posté par
Kekeeere : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 10:43

Pas de soucis larrech merci pour vos réponses!

Posté par
Kekeeere : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 10:59

J'espère que quelqu'un d'autre pourra me répondre..

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 16:02

Bonjour

Une suggestion pour 2)

\Large \boxed{P(e^{it})=\sum_{k=0}^na_ke^{ikt}~~,~~\bar{P(e^{it})}=\sum_{k=0}^n\bar{a_k}e^{-ikt}}

\Large \boxed{\left|P(e^{it})\right|^2=P(e^{it})\bar{P(e^{it})}=\sum_{0\leqslant\ell,k\leqslant n}^na_{\ell}\bar{a_k}e^{i(\ell-k)t}}

\Large \boxed{\int_0^{2\pi}\left|P(e^{it})\right|^2dt=\sum_{0\leqslant\ell,k\leqslant n}^na_{\ell}\bar{a_k}\int_0^{2\pi}e^{i(\ell-k)t}dt=2\pi\sum_{k=0}^n|a_k|^2}

\Large \boxed{\int_0^{2\pi}\left(P(e^{it})\right)^2dt=\sum_{0\leqslant\ell,k\leqslant n}^na_{\ell}a_k\int_0^{2\pi}e^{i(\ell+k)t}dt=2\pi a_0^2} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
GBZMre : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 16:54

Bonjour,

On pourrait penser que elhor_abdelali (que je salue) a fait le job à la place du questionneur.
Mais non, il n'en est rien, puisque ce qu'il a écrit ne répond pas à la question 2) : "En déduire ... "

Si on veut effectivement déduire de 1), on peut démontrer que l'hypothèse P(\mathbb U)\subset \R (qui ne sert à rien pour 1) entraîne que c_{-k}(P)= \overline{c_k(P)} pour tout k\in \Z.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 17:21

C'est exact GBZM

ce que j'ai écris est une preuve directe de la constance du polynôme P sans usage du résultat de la question 1)

Citation :
Si on veut effectivement déduire de 1), on peut démontrer que l'hypothèse P(\mathbb U)\subset \R (qui ne sert à rien pour 1) entraîne que c_{-k}(P)= \overline{c_k(P)} pour tout k\in \Z.


je confirme

Posté par
GBZMre : Fonctions polynomiales 24-02-22 à 17:24

Et tu confirmeras sans doute aussi que, une fois que 1) est établi, c'est beaucoup plus direct que ce que tu avais fait !


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