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Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la droite

Posté par
Khwartz
05-01-14 à 05:26

Bonjour à tous.

De mon tout petit niveau de Première, et après m'être intéressé à quelques discussions, je souhaiterais que les membres de ce forum critiquent, bien sûr  constructivement, les assertions personnelles suivantes, à prendre comme une méthode de raisonnement "à fausse position" (utilisée par les Égyptiens comme méthode de calcul), i.e. des entrées pas nécessairement vraies mais permettant d'obtenir des réactions ("résultats" en calcul) permettant de révéler l'écart éventuel avec la logique ou la pertinence, afin de me permettre de progresser moi-même quelle que soit l'issue de la discussion :

- Les géométries euclidiennes et non euclidiennes (y en a-t-il d'autres svp ?) en elles-mêmes sont des constructions plus ou moins arbitraires (plutôt "moins" pour l'euclidienne) arbitraires qui ne peuvent pleinement se justifier que par l'algère ; i.e. en passant par la géométrie analytique.

- La définition d'une droite par Euclide, est floue ; seule une définition analytique basée sur la notion de DISTANCE, conjecturée comme étant plus fondamentale que celle de droite donc,  peut être claire et rigoureuse ; laquelle serait, ou toute formulation équivalente :

"ENSEMBLE DE POINTS TELS QUE SOIENT TROIS POINTS A, B ET C, APPARTENANT À CE MÊME ENSEMBLE, SONT TELS QUE SI DISTANCE(A,B) < DISTANCE(A,C), ET  DISTANCE(B,C) < DISTANCE(A,C), ALORS, NÉCESSAIREMENT, DISTANCE(A,B) + DISTANCE(B,C) = DISTANCE(A,C)."

Rires : Si ma deuxième assertion s'avérait cohérente par une chance extraordinaire,  je ne doute pas que des esprits plus éduqués que moi dans le domaine, ont dû y penser bien avant moi ! et si c'est erroné,  j'espère bien apprendre un maximum de mon erreur ; et n'est-ce pas là le but de la méthode "par fausse position" ?

Respectueusement.

Posté par
Khwartz
Corrolaire ? 05-01-14 à 05:44

Si je ne suis pas complètement idiot, si la deuxième assertion était "par le plus grand des hasards", juste,  cela ne permettait-il pas de "résoudre" le problème  qu' équivalence de définitions entre "droites" et "cercles" dans les géométries hyperboliques ? Je veux dire en interdirait l'équivalence, et donc les géométries du même nom ?

Posté par
carpediem
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 05-01-14 à 11:06

salut

il n'est pas besoin de distance pour définir une droite ....

la définition d'une droite n'est pas floue .... je dirai plutôt intrinsèque ...

"deux points définissent une droite" conduit à se poser la question "quand est-ce que trois points définissent la même droite ? et induit la notion d'alignement ....

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 05-01-14 à 16:55

Bonjour

Ta définition a le défaut de ne pas dire ce qu'est une distance. Figure-toi qu'il existe des distances pour lesquelles on n'a JAMAIS d(a,c)=d(a,b)+d(b,c) si les trois points sont distincts!

Posté par
douzaine
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 05-01-14 à 19:23

Bonsoir,

Ce sont des questionnements intéressants!

Pour la première affirmation, il faudrait que tu expliques ce que tu entends par "arbitraires", et pourquoi tu juges les constructions axiomatiques des géométries arbitraires et pas leur modélisation analytique.
Je ne crois pas qu'il y ait de définition générale de ce qu'est "une géométrie".
Dans certains cas cela sera une théorie qu'on qualifiera arbitrairement de géométrique parce qu'on peut visualiser ses assertions avec des droites, des angles etc.
Dans d'autres, on parlera de géométrie sur une structure mathématique en tant qu'ensemble d'éléments de cette structure dont on pense qu'ils donnent des informations géométriques sur celle-ci (par exemple la géométrie d'un triangle isocèle peut être renseignée par son groupe de symétries, et on pourrait dire que la géométrie d'un polygone c'est son groupe de symétries même si ça fait léger).

Il y a toutefois une définition de la géométrie que tu trouveras en tapant "conjecture de géométrisation" sur Wikipedia; mais je pense qu'il faut une certaine expérience des mathématiques pour avoir ne serait-ce qu'une idée du lien entre cette définition et ce qu'on imagine qu'est la géométrie.

Posté par
Khwartz
@carpediem 06-01-14 à 06:28

salut

*** Salut, merci de prendre le temps de me répondre, carpediem.


il n'est pas besoin de distance pour définir une droite ....

*** ben justement, c'est dont je ne suis pas encore convaincu justement :/



la définition d'une droite n'est pas floue .... je dirai plutôt intrinsèque ...

"deux points définissent une droite" conduit à se poser la question "quand est-ce que trois points définissent la même droite ? et induit la notion d'alignement ....

*** à bon, et un bipoint, un couple, une paire, ne sont-ils pas aussi definis par deux points ?

Posté par
Khwartz
@Camélia 06-01-14 à 06:43

Bonjour

*** Bonjour Camélia, et merci aussi de prendre le temps de me répondre.


Ta définition a le défaut de ne pas dire ce qu'est une distance.

*** ben oui,  je l'ai supposée connue et bien sûr la définir me paraît d'à propos. Je la vois comme une des définitions a définir dans l'axiomatique et dont on se servirait pour définir la droite.

*** comment définis-tu une droite en géométrie analytique ?


Figure-toi qu'il existe des distances pour lesquelles on n'a JAMAIS d(a,c)=d(a,b)+d(b,c) si les trois points sont distincts!

*** ben oui, c'est bien le cas de triplets non alignés, ce qui me semble confirmer mon idée de définition pour la droite puisqu'il semble y avoir équivalence entre la condition où les trois points sont alignés et le fait qu'ils soient sur la même droite...

Posté par
Khwartz
@douzaine 06-01-14 à 07:09

Bonsoir,


*** Bonsoir, ou bonjour douzaine (selon ton heure d'arrivée ). Merci aussi de prendre le temps de me répondre.


Ce sont des questionnements intéressants!

*** j'espère bien !


Pour la première affirmation, il faudrait que tu expliques ce que tu entends par "arbitraires", et pourquoi tu juges les constructions axiomatiques des géométries arbitraires et pas leur modélisation analytique.

*** en fait,  je faisais  seulement référence aux Éléments d'Euclide.

*** ce qui me plaît bien,  et me paraît moins arbitraires que les Éléments, c'est que la géométrie analytique est basée sur l'algèbre,  elle-même basée sur la théorie des ensembles et donc aussi des nombres, et que tout peut se construire alors sur le vide (!) ; je veux dire l'ensemble vide (la base paradoxalement la plus "solide des mathématiques ? ), tout l'édifice mathématique, y compris les points et les droites ; n'est-ce pas vrai ? Ce qui tendrait à démontrer que ces théories sont plus "pures", plus puissantes,  que l'axiomatique des Éléments.



Je ne crois pas qu'il y ait de définition générale de ce qu'est "une géométrie".
Dans certains cas cela sera une théorie qu'on qualifiera arbitrairement de géométrique parce qu'on peut visualiser ses assertions avec des droites, des angles etc.
Dans d'autres, on parlera de géométrie sur une structure mathématique en tant qu'ensemble d'éléments de cette structure dont on pense qu'ils donnent des informations géométriques sur celle-ci (par exemple la géométrie d'un triangle isocèle peut être renseignée par son groupe de symétries, et on pourrait dire que la géométrie d'un polygone c'est son groupe de symétries même si ça fait léger).

*** je crois tout à fait comprendre ce que tu veux dire


Il y a toutefois une définition de la géométrie que tu trouveras en tapant "conjecture de géométrisation" sur Wikipedia; mais je pense qu'il faut une certaine expérience des mathématiques pour avoir ne serait-ce qu'une idée du lien entre cette définition et ce qu'on imagine qu'est la géométrie.

*** alors voyons : serais-tu d'accord que l'on puisse affirmer en termes triviaux qu'une géométrie est l'étude de "figures", i.e. d'ensembles de points ayant des relations fixes et déterminées (non fixe ce serait alors de la cinématique) ?

Posté par
douzaine
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 06-01-14 à 20:01

Il est toujours difficile de définir une branche des mathématiques. La géométrie a un historique important dont il faut tenir compte, mais le cadre dans lequel on fait de la géométrie a été grandement élargi depuis "la géométrie des triangles".
Les maths sont connectées de partout, comment savoir si la définition qu'on donne à la géométrie va rendre compte de tout ce qu'elle signifie et signifiera pour nous? Faut-il définir la géométrie par la méthode qu'elle utilise ou les objets qu'elle manipule?

Une solution: parler de géométrie comme tu l'entends pour se comprendre, et définir un concept de géométrie à l'intérieur des mathématique. Cela implique une réduction du cadre d'étude.
Je ne suis pas en mesure de dire si ta définition de la géométrie est satisfaisante, mais elle est assez floue, étant donné qu'une relation ça peut-être pas mal de choses! Enfin on comprend à peu près ce que tu veux dire, rien qu'avec "figures".

Tu peux très bien affirmer que la notion centrale de la géométrie est celle de distance, et que les droites sont les ensembles qui se comportent bien selon ces distances. La question est: ce cadre permet-il de faire des mathématiques intéressantes, sensées et efficaces?

Un point important:
Une théorie axiomatique est censée abstraire les fondements de ce qu'elle prétend étudier. Si cet objet d'étude est défini mathématiquement, alors cette pertinence peut être maximale (il suffit de prendre comme axiomes les définitions des objets). Si cet objet d'étude n'a pas de définition mathématique (exemple: la géométrie), l'enjeu est beaucoup plus grand. Il serait assez osé de dire "ça y est, j'ai trouvé l'essence de la géométrie, c'est ça et ça ne changera jamais".
Le challenge est de formuler des théories qui ont un sens et qui permettent de faire de jolies maths, sans qu'elles soient trop restrictives ou arbitraires, ni trop générales et muettes...
En tout cas, la théorie en elle même ne définit pas; l'axiomatisation de la géométrie euclidienne par Hilbert ne définit ni les points ni les droites ni les plans, la théorie des ensembles ne définit pas les ensembles et on peut très bien s'imaginer qu'un ensemble est une personne et que x \in y traduit "x est tombé follement amoureux de y" sans que cela ne change rien aux théorèmes.
Ce que permettrait l'axiomatisation de la géométrie euclidienne, c'est d'étudier une classe de modèles, c'est-à-dire de structures mathématiques qui permettent d'interpréter les axiomes (par exemple l'axiome \forall x (x + 0 = x) de l'arithmétique de Peano est vérifié dans l'ensemble des entiers naturels muni de la structure caractérisant la loi d'addition qu'on connait).
Une théorie ne sanctionne ses modèles que par l'existence de propriétés, elle n'est pas restrictive comme le serait une définition de ce qu'est une droite du plan. Et cela permet de démontrer des résultats puissants comme le fait que toutes les structures qui "vérifient" telle théorie sont "semblables".

Une définition de la droite, c'est une modélisation de la théorie; c'est un exemple d'objet mathématique qui obéit aux lois de la théorie (si cette dernière n'existe pas encore, il y a souvent une idée derrière la définition, et cette idée sera sûrement le germe d'une abstraction). Une modélisation possède souvent des propriétés qui ne sont pas prédites par la théorie, elle est plus riche en quelque sorte, mais moins abstraite.
On a envie d'avoir des modèles pour des théories (sinon, comment être sûr qu'elles ne disent pas n'importe quoi?) et des théories pour des modèles (pour en isoler le sens), les deux points de vue s'enrichissent mutuellement. On pourrait parler de dualité entre axiomatisation et définition.

Par exemple, si tu définis une droite comme un ensemble de points du plan (l'ensemble des couples de réels) qui vérifie ton égalité avec la distance classique, tu cèles à jamais ce qu'est une droite et restreint ton étude de la géométrie à la géométrie plane du plan réel.
Tu pourrais te demander s'il n'y a pas quelque chose de formel et profond dans cette définition qui dépasse en fait les objets qu'elle définit. Tu pourrais alors imaginer une théorie, pour laquelle les objets ne sont pas définis, mais où on donne leurs relations, par exemple, sans préciser ce qu'est le symbole de fonction d ni le prédicat D ni le symbole \in, inclure l'axiome \forall x(D(x) \Longrightarrow \forall (a,b,c) \in x, \ d(a,b) + d(b,c) = d(a,c) ou d(a,c) + d(c,b) = d(a,b)))  
\in serait couramment interprété comme "est un point de" et D(x) comme "x est une droite".
Ensuite, tu regardes si tu trouves des modélisations de cette théorie qui n'ont aucun sens et aucune propriété particulière. Si c'est le cas, la généralisation n'était sûrement pas pertinente et peut-être qu'il valait mieux définir une droite comme un ensemble de points du plan vérifiant la propriété, peut-être qu'il manquait des axiomes, peut-être qu'il y en avait en trop. Saisis-tu la différence entre ce que représente

Au sujet de la théorie des ensembles et les Eléments d'Euclide, ce sont deux approches différentes. La première a pour but de donner vie à des objets mathématiques importants; elle permet de définir les structures qui vont servir de modèles à d'autres théories: le plan et ses droites par exemple.
La seconde étudie la portée des axiomes qu'Euclide a choisi pour retrouver les résultats de géométrie.
Ce que tu appelles arbitraire dans les axiomes d'Euclide, a son équivalent dans l'approche du type mise en évidence d'un modèle par la théorie des ensembles: on se place arbitrairement dans des ensembles particuliers parce qu'on sait qu'ils possèdent les propriétés souhaitées.



En ce qui concerne l'aspect technique de ta seconde question, il y a des contestations à formuler: Camélia te fait remarquer que dans certains cadres ta définition ne permettrait l'existence d'aucune droite, parce que les distances sont des objets définis pour d'autres ensembles que le plan.
As-tu vérifié que ta définition satisfaisait l'axiome "par deux points il ne passe pas plus d'une droite"?

Posté par
Khwartz
@douzaine 07-01-14 à 04:43

Merci beaucoup douzaine d'avoir pris une nouvelle fois le temps de me répondre, et surtout de l'avoir fait d'une manière qui me paraît très pertinente et pleine de potentialités d'enrichissement pour ce qui me concerne. Ça m'a fait tellement du bien qu'en te lisant, une grosse larme, de bonheur je le crois, a roulée sur une de mes joue

Étant donné la consistance (sens trivial = densité ) de ta réponse,  je souhaite me donner plus de temps pour te répondre que j'en ai juste là maintenant (désole si jamais ça me prenait plus d'une semaine du fait de mes contraintes de temps :/ ).

Encore une fois, j'apprécie énormément ton précédent post et dirai tout-de-suite que ce n'est pas parce que l'on fixerait la définition d'un objet, d'un modèle, que l'on doit s'interdire de décliner toutes les variations possibles dans les éléments de la définition, générant ainsi toute une "famille" de définitions, donc d'objets ou de modèles, et donc loin de se restreindre nous pouvons me semble-t-il et en principe, nous ouvrir a toute une gamme de théories possibles, sans a priori de pertinence utilitaire (qui sait à l'avance ce qu'une théorie mathématique, même des plus exotique, peut produire comme effet dans le monde concret ?! Les exemples abondent où la liberté créative d'un très jeune mathématicien permit des progrès dans des sciences expérimentales, même si bien plus tard ; n'est-il pas ? ).

Vu à la fois l'étendue et la profondeur de ta réponse, ne serais-tu pas épistémologue, philosophe des mathématiques et/ou logicien à tes heures ? Chère/cher douzaine

PS : Je pense qu'il doit être possible de démontrer que, définissant d'abord la droite analytiquement comme je le faisais, et en définissant la notion de parallélisme de manière ad hoc, le 5 ème postulat d'Euclide deviendrait un théorème, sans pour autant s'interdire les géométries non euclidiennes (je m'expliquerai sur cette idée la prochaine fois mais comme en aurait certainement convenu Jean Cavailles : les mathématiques doivent rester un espace de liberté ou seule la logique (formelle) a le droit de dicter des règles ! ). Bien à toi.

Posté par
douzaine
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 07-01-14 à 20:13

Je suis content que ma réponse te fasse réfléchir. C'est un sujet qui m'intéresse aussi, mais je suis novice. Rien n'empêche une conversation entre novices d'être très profitable!
Prends tout ton temps pour répondre, rien ne presse.

Je voulais éviter de faire une opposition définition = spécialisation VS axiomatisation = abstraction mais c'est vrai que c'est ce qui ressort de mon post.
(d'ailleurs, j'ai fait une erreur, en plus de zapper une fin de phrase, à la fin, c'est plutôt "par deux points distincts il ne passe pas plus d'une droite")
Enfin bref, je voulais dire que la géométrie d'Euclide n'a pas la fonction de définir les droites ni de formaliser toutes les mathématiques, et que lui préférer la géométrie analytique parce qu'elle est fondée sur une solide théorie des ensembles c'est passer à côté de ça, et aussi du travail d'Euclide, le pauvre.

Une petite question au sujet de ta définition d'une droite, quand tu auras du temps: dans quel ensemble ou type d'ensemble sont considérés les points de la droite et quelle condition ou définition doit vérifier la distance?

Posté par
Khwartz
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 15-01-14 à 06:18

Il est toujours difficile de définir une branche des mathématiques. La géométrie a un historique important dont il faut tenir compte, mais le cadre dans lequel on fait de la géométrie a été grandement élargi depuis "la géométrie des triangles".
*** Je comprends.



Les maths sont connectées de partout, comment savoir si la définition qu'on donne à la géométrie va rendre compte de tout ce qu'elle signifie et signifiera pour nous?
*** En utilisant la méthode de fausse position : poser la définition et voir ce que cela donne, et en fonction des écarts éventuels, voir s'il vaut mieux modifier la définition ou exclure certaines branches comme étant de la géométrie, en ayant pour critère de choix l'estimation de potentialités en termes d'ouvertures de nouveaux champs de recherche et/ou de simplification des approches existantes, je dirais.  



Faut-il définir la géométrie par la méthode qu'elle utilise ou les objets qu'elle manipule?
*** Et bien il peut être intéressant de définir des branches de mathématiques d'abord par les objects et ensuite en sous-classes par la méthode, comme on dit "géométrie" d'abord en rapport avec les objets que sont les figures et ensuite "analytique" qui a plus rapport avec la méthode (encore que ...). Ou l'inverse, ça se discute certainement. Ce qui me paraîtrait d'ailleurs le plus important ici c'est justement de discuter du classement qui me paraît le plus pertinent. Perso je suis plus pour l'aspect logique comme critère ultime que l'aspect historique, car à l'échelle de l'histoire et des générations suivantes, les considérations historiques introduisent des complexités par ses arbitraires qui rendre plus difficile l'apprentissage du domaine et brouille les idées au niveau créatif et de la recherche. Bien qu'une présentation historique ou "génétique" des mathématiques a sont utilité aussi. En fait je crois etre plutôt pour la pluralité des approches et la coexistence de chacune selon le principe du maximum de liberté.



Une solution: parler de géométrie comme tu l'entends pour se comprendre, et définir un concept de géométrie à l'intérieur des mathématique. Cela implique une réduction du cadre d'étude.
*** Oui, peut-être que ça réduirait le champ de la géométrie mais pas nécessairement celui des mathématiques car en définissant mieux ce qui est, on définit mieux aussi ce qui n'est pas, le complètement de ce qui est ; ce qui là aussi peut ouvrir de nouvelles portes ou au moins offrir de meilleurs éclairages, de ce qu'il me semble. Est-ce que la topologie est une géométrie par exemple ? Selon la définition que je proposais : non, car la topologie utilise une notion plus générale que la notion de distance : la notion de "proximité". Et pourtant ! Nos valeureux pairs dans la discussion de Wikipedia sur les branches des mathématiques donne la topologie comme une branche de la géométrie. Cela dit, après avoir étudié un échange sur la pertinence de possibles classifications, je dirais qu'il faut voir ce corps de connaissances que sont les mathématiques comme un objet relativement complexe en "n" dimensions que l'on peut observer sous différents angles pour en révéler telles ou telles structures et imbrications ; une structure évolutive en fonction des travaux validés quasiment en temps réel.
* * * L'erreur toutefois que nos pairs semblent faire, c'est de s'échiner à vouloir faire une classification de type arborescence "bidimensionnelle" alors qu'une classification exhaustive ne peut être que "multidimensionnelle" du fait des nombreux chevauchements et des points de vue d'analyse et de synthèse possibles.



Je ne suis pas en mesure de dire si ta définition de la géométrie est satisfaisante, mais elle est assez floue, étant donné qu'une relation ça peut-être pas mal de choses! Enfin on comprend à peu près ce que tu veux dire, rien qu'avec "figures".
*** Ben faut dire que tu m'as pris un peu au dépourvu sur cette question et je t'ai répondu relativement rapidement. Mais c'est une question qui certainement là-aussi méritrait d'être creusée. Une question plus précise serait je crois : qu'est-ce qu'une "relation géométrique", se basant effectivement dans un premier temps sur l'histoire du domaine et des habitudes prises, les pratiques présentes, pour ensuite en tirer une tendance générale quant à la nature des relations impliquées, et si la limite conceptuelle est floue de déterminer la plus pertinente de ses localisations.
*** Pour l'instant je dirais donc : Une relation qui nécessite l'existence d'une "métrique" quelconque.



Tu peux très bien affirmer que la notion centrale de la géométrie est celle de distance,
*** Oui, la notion d'angles aussi me semble très forte. Mais ainsi pour moi, la topologie ne devrait pas être incluse dans la géométrie car il n'y a plus à proprement parler de concept de "distance" dans celle-ci. Je dirais même que la géométrie pour moi serait un cas particulier de topologie car adjoignant à cette dernière des restrictions, ce qui représente pour moi une démarche méritant particulièrement une discussion, à savoir : est-ce la RESTRICTION d'une théorie à des cas plus particuliers par l'adjonction de conditions, axiomes ou postulats supplémentaires, qui permet de considérer cette même "restriction" comme "INCLUSE", on pourrait dire "hyponyme" de la générale : "l'hyperonyme" ?



et que les droites sont les ensembles qui se comportent bien selon ces distances. La question est: ce cadre permet-il de faire des mathématiques intéressantes, sensées et efficaces?
*** Je suis bien d'accord que c'est là la question qui doit être posée, et de ce qu'il me semble : oui.



Un point important:
Une théorie axiomatique est censée abstraire les fondements de ce qu'elle prétend étudier. Si cet objet d'étude est défini mathématiquement, alors cette pertinence peut être maximale (il suffit de prendre comme axiomes les définitions des objets). Si cet objet d'étude n'a pas de définition mathématique (exemple: la géométrie), l'enjeu est beaucoup plus grand. Il serait assez osé de dire "ça y est, j'ai trouvé l'essence de la géométrie, c'est ça et ça ne changera jamais".
*** Je comprends les nuances précédentes, par contre le dernier point, lui, le paraît non seulement non pertinent mais en plus contre-productif : Qu'une tentative, un postulat ou toute hypothèse soit "osée", n'a rien à voir avec la pertinence intrinsèque, d'autant que si tous ceux qui ont fait progressé la connaissance jusqu'à ce jour n'avaient pas "osé" (fait abstraction de tout le contexte intellectuel de son temps ; voir "Philosophie mathématique" de de Jean Cavailles - Encore lui ! ), nous n'aurions, à mon avis, même pas atteint l'âge de pierre ; tout au contraire c'est celui qui "ose" qui a le plus de chance d'apporter des améliorations significatives, mais bien sûr aussi de se tromper ! Cela dit, comme le disait ce Très Grand Grand Homme de part le coeur et l'esprit, notre feu très cher ami Pierre-Gilles de Gennes : la principale qualité d'un découvreur, ce n'est pas d'avoir raison mais de prendre le risque de se tromper,
d'accepter d'avoir tord, et de beaucoup, plus souvent que les autres ...).




Le challenge est de formuler des théories qui ont un sens et qui permettent de faire de jolies maths, sans qu'elles soient trop restrictives ou arbitraires, ni trop générales et muettes...
*** Je suis bien d'accord, à cela près que je crois que ce qui peut paraître dans un premier temps "restrictif" peut s'avérer libérateur par la suite, notamment si cela permet de se débarrasser de culs de sac et de préciser les concepts.




En tout cas, la théorie en elle même ne définit pas; l'axiomatisation de la géométrie euclidienne par Hilbert ne définit ni les points ni les droites ni les plans, la théorie des ensembles ne définit pas les ensembles et on peut très bien s'imaginer qu'un ensemble est une personne et que x \in y traduit "x est tombé follement amoureux de y" sans que cela ne change rien aux théorèmes.
*** Peut-être, mais tout ce nous avons besoin en mathématiques n'est-il pas de définir les relations entre les objets ? N'est-ce pas essentiellement ces relations qui les définissent, et rien d'autre ? Sauf peut-être pour ce qui serait "l'objet primordial" : le vide mathématique ("ontologique" ?), i.e. dépourvu de tout être particulier ; et encore, ne se définit-il pas lui-même comme le complètement, et la base sine qua non en fait, de tout le reste ?



Ce que permettrait l'axiomatisation de la géométrie euclidienne, c'est d'étudier une classe de modèles, c'est-à-dire de structures mathématiques qui permettent d'interpréter les axiomes (par exemple l'axiome \forall x (x + 0 = x) de l'arithmétique de Peano est vérifié dans l'ensemble des entiers naturels muni de la structure caractérisant la loi d'addition qu'on connait).
Une théorie ne sanctionne ses modèles que par l'existence de propriétés, elle n'est pas restrictive comme le serait une définition de ce qu'est une droite du plan. Et cela permet de démontrer des résultats puissants comme le fait que toutes les structures qui "vérifient" telle théorie sont "semblables".
*** Je comprends.


Une définition de la droite, c'est une modélisation de la théorie; c'est un exemple d'objet mathématique qui obéit aux lois de la théorie (si cette dernière n'existe pas encore, il y a souvent une idée derrière la définition, et cette idée sera sûrement le germe d'une abstraction). Une modélisation possède souvent des propriétés qui ne sont pas prédites par la théorie, elle est plus riche en quelque sorte, mais moins abstraite.
*** OK. Mais es-tu d'accord pour dire que dans le cadre d'Euclide les droites ne sont pas des modèles, et que par contre si la droite est définie grâce à une "métathéorie" la droite devient alors effectivement un modèle de cette théorie ?

*** "Abstrait" pour toi => "moins riche en propriétés, relations et généralisations potentielles ou actuelles" ?



On a envie d'avoir des modèles pour des théories (sinon, comment être sûr qu'elles ne disent pas n'importe quoi?) et des théories pour des modèles (pour en isoler le sens), les deux points de vue s'enrichissent mutuellement. On pourrait parler de dualité entre axiomatisation et définition.
*** Ça me semble intéressant comme point de vue. Un peu comme le va-et-vient que j'apprécie le plus en tant que méthode de recherche et vérification entre l'induction et la déduction

*** "N'importe-quoi" => "existence d'incohérences" ? Tel que je te lis j'ai l'impression que "non", alors que pour moi ce sera nécessairement vrai, et ne devrait l'être qu'à cette condition.



Par exemple, si tu définis une droite comme un ensemble de points du plan (l'ensemble des couples de réels) qui vérifie ton égalité avec la distance classique, tu cèles à jamais ce qu'est une droite et restreint ton étude de la géométrie à la géométrie plane du plan réel.
*** Il me semble bien que oui, mais pas seulement le plan par contre : cela fonctionerait pour tout espace métrique à n dimensions. De plus, d'autres "géométries", tout à fait à proprement parler, peuvent être et ont déjà été construites je crois avec d'autres définitions de la distance que celle classique, mais s'agissant toujours de distances.



Tu pourrais te demander s'il n'y a pas quelque chose de formel et profond dans cette définition qui dépasse en fait les objets qu'elle définit. Tu pourrais alors imaginer une théorie, pour laquelle les objets ne sont pas définis, mais où on donne leurs relations, par exemple, sans préciser ce qu'est le symbole de fonction d ni le prédicat D ni le symbole \in, inclure l'axiome \forall x(D(x) \Longrightarrow \forall (a,b,c) \in x, \ d(a,b) + d(b,c) = d(a,c) ou d(a,c) + d(c,b) = d(a,b)))  
\in serait couramment interprété comme "est un point de" et D(x) comme "x est une droite".
Ensuite, tu regardes si tu trouves des modélisations de cette théorie qui n'ont aucun sens
*** Rires. Je m'interroge beaucoup sur ta notion de "sens" (comme tout à l'heure dans ton expression "n'importe-quoi") ; pourrais-tu me préciser ce que tu définirais comme le "sens" en mathématiques dans ce contexte ? Pour moi il n'existe que la notion de "cohérence" en mathématiques. Qu'ensuite cette cohérence semble avoir un parallèle avec la réalité observable est autre chose. Bien sûr, tout dépend certainement si l'on se place dans le cadre des mathématiques "pures" ou des mathématiques "appliquées". Je me plaçais dans le premier. Pour le second, je crois que le sens est tout simplement "l'applicabilité" et la convergence avec la réalité observée. Qu'en penses-tu ?


et aucune propriété particulière. Si c'est le cas, la généralisation n'était sûrement pas pertinente et peut-être qu'il valait mieux définir une droite comme un ensemble de points du plan vérifiant la propriété, peut-être qu'il manquait des axiomes, peut-être qu'il y en avait en trop.
*** Je te suis jusque là, douzaine. Comme suggéré dans mon précédent post, je vois effectivement l'objet mathématique défini par ses relations. D'autre part, je serais en fait pour l'exploration systématique des différentes possibilités de théories et de modèles, ainsi que de l'examen de leur pertinence respective (application je dirais à la fois d'un "principe de liberté maximale" et de systématisation de la recherche). Mais ton principe d'évaluation par généralisation et abstraction plus poussée me paraît des plus intéressant.



Saisis-tu la différence entre ce que représente
*** là, il semble manquer du texte  mais peut-être me demandais-tu entre théorie et modèle ?



Au sujet de la théorie des ensembles et les Eléments d'Euclide, ce sont deux approches différentes. La première a pour but de donner vie à des objets mathématiques importants; elle permet de définir les structures qui vont servir de modèles à d'autres théories: le plan et ses droites par exemple.
*** Oui, c'est un peu ça qui m'intrigue. Pour moi on peut "partir" de la TDE et déduire TOUTES les autres mathématiques, dont la géométrie d'Euclide, en ajoutant les postulats adéquats (ici donc ce qui était "axiome" devient en partie "postulat" dans le modèle euclidien) ; ce qui voudrait dire qu'il y a de nombreux espaces de liberté et une combinatoire infinie entre ce qui peut être déduit directement de la TDE et tous les postulats arbitraires que l'on peut adjoindre en cours de route (tout en respectant la condition sine qu'à non de la cohérence, ou tout au moins de la non contradiction), créant toutes "les" mathématiques possibles ; à cela près que la combinatoire peut être encore amplifiée, me semble-t-il par tous les possibilités d'utilisation de logiques différentes, i.e. autres que celles du tiers exclu et de la logique des prédicats du premier ordre (toutefois n'acceptant qu'exclusivement les logiques formalisées - peut-on imaginer une mathématique "non-formelle" ?).

*** Autocorrection : on peut considérer la géométrie euclidienne comme des "mathématiques appliquées" qui s'efforcent donc "de coller au maximum à la réalité observable". Dans ce cadre, les "adjonctions" à la TDE devraient être des "axiomes" à proprement parler, puisque sensées été par définition "des vérités évidentes", et non des postulats ; non ?

*** Y a-t-il un mon déjà de donné à ce que j'appellerais les "théories directes", donc directement déductibles de la TDE et sans adjonction de postulat supplémentaires ?

*** Autocorrection : Si pas d'adjonction allors pas possible de déduire une nouvelle théorie, seulement la création de modèles différents ; est-ce que je me trompe ?



La seconde étudie la portée des axiomes qu'Euclide a choisi pour retrouver les résultats de géométrie.
Ce que tu appelles arbitraire dans les axiomes d'Euclide, a son équivalent dans l'approche du type mise en évidence d'un modèle par la théorie des ensembles: on se place arbitrairement dans des ensembles particuliers parce qu'on sait qu'ils possèdent les propriétés souhaitées.
*** Je comprends je crois la démarche qui consiste à choisir des ensembles plutôt que d'autres mais ce que je veux dire c'est que si un objet est "défini" par un axiome d'une manière qui pour moi est imprécise et est sujet à interprétation, et que d'un autre côté on peut faire appel à une théorie plus profonde et même ultime, alors il me semble que la deuxième façon donne un sens plus profond et plus absolu que dans la première.  



En ce qui concerne l'aspect technique de ta seconde question, il y a des contestations à formuler: Camélia te fait remarquer que dans certains cadres ta définition ne permettrait l'existence d'aucune droite, parce que les distances sont des objets définis pour d'autres ensembles que le plan.
*** "D'autres ensembles que le plan", c'est plutôt vague comme indication, ça ne me permet pas trop d'y objecter ! Si maintenant on veut parler d'espaces à n dimensions, la définition me semble toujours tenir la route. Ce qui me paraît bien plus encore intéressant c'est de pouvoir définir le parallélisme, quel que soit le nombre de dimensions de l'espace ... métrique, bien sûr. Bref, dans quel espace métrique n'y aurait-il pas de distance et donc de droite possible, alors qu'un espace métrique est justement défini par sa ... métrique ! Lapalissade n'est-ce pas ?  



As-tu vérifié que ta définition satisfaisait l'axiome "par deux points il ne passe pas plus d'une droite"?
*** "Axiome" ou "postulat" ou ... ?  Comme suggéré aussi dans mon post interlude, la droite étant définie par, ce que j'aurais tendance à appelé "l'égalité antitriangulaire" (avec la métrique euclidienne : (Somme(xi ; yi)^2)^1/2) et le parallélisme étant défini par la somme des angles par exemple alternes-internes égale à deux droits (tout cela défini analytiquement bien sûr), ALORS il me semble que le cinquième postulat deviendrait un théorème ; qu'en penses-tu ? Cela dit, rien empêche de prendre d'autres métriques et de faire d'autres géométries, juste qu'il ne s'agit plus bien sûr de géométries euclidiennes.

Posté par
douzaine
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 16-01-14 à 21:45

Hola!

Je suis d'accord avec toi sur les quatre premiers points.
Le fait qu'une définition soit restrictive, ce n'est pas péjoratif. Je pense qu'il faut restreindre le cadre d'étude pour pouvoir étudier quelque chose qui n'est pas défini formellement.
Mais il faut garder en tête que l'on a restreint ce cadre d'étude, que la géométrie se trouvera en dehors des espaces métriques, que les mathématiques se trouveront en dehors de la théorie des ensembles.



(en ce qui concerne la topologie, je ne vois vraiment pas comment on peut la considérer comme une branche de la géométrie; même la topologie des espaces uniformes, métriques, voire celle du plan euclidien.)

Citation :
[au sujet des relations géométriques:] Pour l'instant je dirais donc : Une relation qui nécessite l'existence d'une "métrique" quelconque.

Ce n'est peut-être pas une mauvaise idée. Les objets géométriques que je connais ont tous un lien avec une distance.


Citation :
Je dirais même que la géométrie pour moi serait un cas particulier de topologie car adjoignant à cette dernière des restrictions, ce qui représente pour moi une démarche méritant particulièrement une discussion, à savoir : est-ce la RESTRICTION d'une théorie à des cas plus particuliers par l'adjonction de conditions, axiomes ou postulats supplémentaires, qui permet de considérer cette même "restriction" comme "INCLUSE", on pourrait dire "hyponyme" de la générale : "l'hyperonyme" ?

On n'a pourtant pas besoin de se placer dans un espace topologique pour faire de la géométrie.
Cela dit la topologie est un domaine très vaste qui a des applications un peu partout par sa propension à démontrer des énoncés "purement" ensemblistes (les notions topologiques s'écrivent "simplement" dans le langage de la théorie des ensembles), notamment l'existence d'éléments particuliers.
Oui je pense qu'on peut parler de restriction dans ce cas, c'est une restriction du domaine dans lequel on va chercher les objets.



Citation :
Je comprends les nuances précédentes, par contre le dernier point, lui, le paraît non seulement non pertinent mais en plus contre-productif : Qu'une tentative, un postulat ou toute hypothèse soit "osée", n'a rien à voir avec la pertinence intrinsèque, d'autant que si tous ceux qui ont fait progressé la connaissance jusqu'à ce jour n'avaient pas "osé" (fait abstraction de tout le contexte intellectuel de son temps ; voir "Philosophie mathématique" de de Jean Cavailles - Encore lui ! ), nous n'aurions, à mon avis, même pas atteint l'âge de pierre ; tout au contraire c'est celui qui "ose" qui a le plus de chance d'apporter des améliorations significatives, mais bien sûr aussi de se tromper ! Cela dit, comme le disait ce Très Grand Grand Homme de part le coeur et l'esprit, notre feu très cher ami Pierre-Gilles de Gennes : la principale qualité d'un découvreur, ce n'est pas d'avoir raison mais de prendre le risque de se tromper,
d'accepter d'avoir tort, et de beaucoup, plus souvent que les autres ...).


C'est une question de tempérament. Je ne dis pas qu'il ne faut pas oser. Seulement je considère que penser avoir défini mathématiquement le cadre ultime de la géométrie est assez stupide, et c'est osé!
Je ne vois pas l'intérêt de dire un truc grandiose qui sera forcément mis en défaut dix ans plus tard plutôt que d'être plus humble; simple souci d'exactitude.

Citation :
Je suis bien d'accord, à cela près que je crois que ce qui peut paraître dans un premier temps "restrictif" peut s'avérer libérateur par la suite, notamment si cela permet de se débarrasser de culs de sac et de préciser les concepts.

Bien sûr. Mon propos n'est pas qu'il ne faut pas poser des définitions dans des cadres précis, ou étudier des exemples. Je suis convaincu qu'une approche trop abstraite des mathématiques (par exemple une étude exclusive des Bourbaki) tend à perdre le mathématicien, et qu'il faut se familiariser avec des objets mathématiques canoniques pour pouvoir être à l'aise avec les maths et donc progresser; même si c'est à double tranchant.
Par exemple, l'ensemble des réels, qui est hyper particulier, mérite toute l'attention qu'on lui porte.


Citation :
Peut-être, mais tout ce nous avons besoin en mathématiques n'est-il pas de définir les relations entre les objets ? N'est-ce pas essentiellement ces relations qui les définissent, et rien d'autre ? Sauf peut-être pour ce qui serait "l'objet primordial" : le vide mathématique ("ontologique" ?), i.e. dépourvu de tout être particulier ; et encore, ne se définit-il pas lui-même comme le complètement, et la base sine qua non en fait, de tout le reste ?


L'identité d'un objet mathématique est définie dans la théorie des ensembles via l'axiome d'extensionnalité.
Une définition d'un objet mathématique a, c'est simplement une formule F[x] telle qu'on ait F[a] et \forall x(\forall y((F[x] \wedge F[y]) \Longrightarrow x = y)). Rien n'empêche de démontrer une proposition faisant intervenir des objets non définis.
Il suffit pour cela de connaître les relations et les définitions "partielles".
Je reprends mon truc des gens amoureux: si je te dis il existe un unique personne que personne n'aime, tu vas me dire "mouais". De même si je te dis que deux personnes dont les prétendants sont les mêmes sont identiques, tu pourrais contester.
Avec les ensembles, cela passe mieux. Parce qu'ils sont déjà "définis" dans notre tête, l'idée d'ensemble "y existe déjà".
Enfin voilà, je ne pense pas que ce que les mathématiques ne définissent pas (les ensembles) possède une identité particulière au sein des mathématiques, mais correspond plutôt à une idée que notre esprit peut manipuler.
(J'ai peut-être mal compris ce que tu disais?)


Citation :
OK. Mais es-tu d'accord pour dire que dans le cadre d'Euclide les droites ne sont pas des modèles, et que par contre si la droite est définie grâce à une "métathéorie" la droite devient alors effectivement un modèle de cette théorie ?

*** "Abstrait" pour toi => "moins riche en propriétés, relations et généralisations potentielles ou actuelles" ?


Oui, les droites d'Euclide sont simplement le nom qu'on donne à certains objets pour les distinguer des points.
Euclide ne faisait pas de théorie des modèles donc mon vocabulaire n'est pas vraiment adapté. Peut-être qu'Euclide voyait le plan comme ce qu'on appellerait aujourd'hui un modèle; aucune idée.
En tout cas, je ne crois pas qu'il disposait pas des ingrédients mathématiques qui permettent de modéliser sa théorie. Je pense que la droite était pour lui "l'idée" de la droite et qu'il voyait sa théorie comme une bonne description idéale de l'objet de droite, qui apparait dans la réalité dans les figures, lignes d'horizon...
Si tu lui avais dit: "la droite c'est \mathbb{R}", je doute qu'il en eût été satisfait. Cela dit je n'en sais rien ^^

Je ne dirais pas que la droite "devient" un modèle de l'idée de droite, mais que de l'idée de droite peut nous guider vers l'explicitation d'un modèle de droite.

Pour moi ce qui est abstrait est effectivement moins riche en propriétés. Quand on abstrait, on isole une propriété dont on pense qu'elle produit d'autres propriétés observées. Je sais qu'un chat est un être. Je ne pourrais jamais dire autant de choses sur un chat en le considérant en tant qu'être qu'en le considérant en tant que chat, mais si je veux en dire quoi que ce soit, il me faut deviner ce que la propriété d'être va "induire" comme propriétés pour le chat.
En mathématiques, si je veux montrer n'importe quelle propriété sur un ensemble, je n'ai pas besoin de connaître sa définition; il me faut seulement utiliser certaines propriétés que je le sais détenir.
Je ne peux toutefois m'en passer: il faut extraire chaque argument de la soupe primordiale de la définition pour démontrer quoi que ce soit. Ce que j'aurais montré au final, j'aurais pu le faire en me plaçant dans la théorie listant comme axiomes les propriétés correspondant aux arguments utilisés, grosso modo.
Si je fais une liste de ces propriétés, et si j'étudie les ensembles possédant simplement ces propriétés, je fais une abstraction.
Il est possible que tous les modèles d'une théorie soient équivalents, c'est-à-dire qu'ils disent oui et non aux mêmes formules du langage. Alors la théorie est aussi "riche" que ce dont elle est l'abstraction en ce qui concerne le langage dans lequel elle est écrite.



Citation :
"N'importe-quoi" => "existence d'incohérences" ?


Effectivement, par n'importe quoi j'entendais ici "une contradiction".





Citation :
Rires. Je m'interroge beaucoup sur ta notion de "sens" (comme tout à l'heure dans ton expression "n'importe-quoi") ; pourrais-tu me préciser ce que tu définirais comme le "sens" en mathématiques dans ce contexte ? Pour moi il n'existe que la notion de "cohérence" en mathématiques. Qu'ensuite cette cohérence semble avoir un parallèle avec la réalité observable est autre chose. Bien sûr, tout dépend certainement si l'on se place dans le cadre des mathématiques "pures" ou des mathématiques "appliquées". Je me plaçais dans le premier. Pour le second, je crois que le sens est tout simplement "l'applicabilité" et la convergence avec la réalité observée. Qu'en penses-tu ?



Je ne suis pas de cet avis. La cohérence importe mais d'une part on n'est jamais sûr que ce qu'on fait n'est pas contradictoire, d'autre part des choses cohérentes peuvent très bien être peu intéressantes.
De plus j'ai du mal à imaginer en quoi la recherche de cohérence peut être la motivation première pour un mathématicien. Si on veut être cohérent le mieux est de se taire.
Je pense qu'une notion mathématique a du sens quand on arrive à la comprendre et à la manipuler. C'est plus un protocole de mesure qu'une définition mais bon.
Mon avis est que certaines approches d'une notion mathématique et certaines notions mathématiques auront un sens alors que d'autres n'en trouveront pas ou très peu même en cherchant très loin. Un peu comme certaines phrases ont un sens et d'autres, même syntaxiquement et grammaticalement correctes, sont de simples associations de mots.


Quand on fait des mathématiques dans le cadre de la théorie des ensembles, tout est formel.
On pourrait, si on disposait d'un ordinateur assez puissant, prouver selon une progression choisie selon la syntaxe des milliers de théorèmes et les faire dérouler sur les écrans publicitaires.
Parmi ces théorèmes, il y en aurait plein qui, si tu passais dans la rue et levait la tête, te sembleraient incompréhensibles; et parmi ceux-ci il y en aurait une grande partie qui le resteraient même après une étude approfondie.
Tout simplement, si je te dis "\forall x( \forall y( \exists z( \forall a( (\exists b (\exists c (\forall d( (d,x) \in y \wedge  b \in c \wedge (a,c) = (d,z)))) \Longrightarrow (z = \phi \vee x \in z)))))" ben tu risques d'arrêter de lire avant la fin.
Il y en aurait d'autres qui te parleraient: "il existe un ensemble vide", "tout application injective d'un ordinal dans lui-même est surjective".
Si on le traduisait en langage mathématique, le second théorème serait probablement plus illisible que celui de tout à l'heure; on ne peut pas distinguer formellement ce qui a du sens et ce qui semble ne pas en avoir.
(bien qu'il existe une classification de la "complexité" des formules qui rende un peu compte de ça)
Donc, chercher à formuler les bonnes définitions (un couple, une application, un groupe) permet de mieux comprendre ce qu'on fait en mathématiques, d'être terriblement plus efficace, et de donner (ou mettre en évidence, je ne sais pas) plus de sens aux mathématiques.
C'est bien plus cela qui compte en mathématiques (ainsi que la rigueur). Tout cela n'est que mon avis.


Citation :
D'autre part, je serais en fait pour l'exploration systématique des différentes possibilités de théories et de modèles, ainsi que de l'examen de leur pertinence respective (application je dirais à la fois d'un "principe de liberté maximale" et de systématisation de la recherche).


Oui tant qu'à faire on pourrait tout étudier, c'est une approche assez originale, un poil bourrine cependant. Peu de mathématiciens auraient envie de sacrifier leur temps à étudier une théorie au hasard, enfin je suppose.


Citation :
là, il semble manquer du texte  mais peut-être me demandais-tu entre théorie et modèle ?


Je voulais te demander si tu voyais la différence entre le travail de quelqu'un qui cherche à formuler une théorie qui englobe une gamme de propriétés et celui de quelqu'un qui cherche un objet mathématique qui possède certaines propriétés.
Je tiens à préciser que je n'attribue pas plus de valeur à l'une ou l'autre des démarches, elles peuvent être également passionnantes, également subtiles, les deux sont nécessaires, etc.



Citation :
Oui, c'est un peu ça qui m'intrigue. Pour moi on peut "partir" de la TDE et déduire TOUTES les autres mathématiques, dont la géométrie d'Euclide, en ajoutant les postulats adéquats (ici donc ce qui était "axiome" devient en partie "postulat" dans le modèle euclidien) ; ce qui voudrait dire qu'il y a de nombreux espaces de liberté et une combinatoire infinie entre ce qui peut être déduit directement de la TDE et tous les postulats arbitraires que l'on peut adjoindre en cours de route (tout en respectant la condition sine qu'à non de la cohérence, ou tout au moins de la non contradiction), créant toutes "les" mathématiques possibles ; à cela près que la combinatoire peut être encore amplifiée, me semble-t-il par tous les possibilités d'utilisation de logiques différentes, i.e. autres que celles du tiers exclu et de la logique des prédicats du premier ordre (toutefois n'acceptant qu'exclusivement les logiques formalisées - peut-on imaginer une mathématique "non-formelle" ?).



On ne déduit pas la géométrie euclidienne de la théorie des ensembles; la théorie des ensembles ne démontre pas les postulats d'Euclide.
Elle dit juste "je sais construire des objets qui se comportent comme les droites d'Euclide". Les puissances des deux théories ne sont pas aussi simplement comparables. Je ne crois pas que cette distinction soit du chipotement; c'est plutôt que l'idée d'accorder à l'une plus de "puissance", "profondeur" sans dire explicitement ce que cela signifie est juste une façon de traduire "je trouve cette théorie mieux que l'autre".
Je suis d'accord sur le fait que la théorie des ensembles permet de faire énormément de choses.


Il y a deux millénaires, la théorie des ensembles n'existait pas encore. Les postulats d'Euclide étaient des postulats au sens fort: les règles absolues pour fonder les mathématiques. Maintenant, on a effectivement trouvé mieux pour fonder les mathématiques: la théorie des ensembles.
Bien sûr que si on prend les postulats d'Euclide et qu'on les compare avec ZFC sur ce terrain, on a envie de les jeter à la poubelle. Heureusement qu'on est plus avancés maintenant qu'il y a 2000 ans!
Mon propos est que ça serait une erreur, car les postulats d'Euclide ont un intérêt autre: théoriser la géométrie (d'Euclide).

Essaie de chercher des articles sur les travaux de Tarski en géométrie et tu verras à quel point l'étude d'une théorie peut fournir des résultats puissants.

(La démonstration formelle, c'est quand même un des principes de base des mathématiques; il faudrait peut-être trouver un autre nom à ces éventuelles formes de mathématiques non-formelles.)


Citation :
***Autocorrection : on peut considérer la géométrie euclidienne comme des "mathématiques appliquées" qui s'efforcent donc "de coller au maximum à la réalité observable". Dans ce cadre, les "adjonctions" à la TDE devraient être des "axiomes" à proprement parler, puisque sensées été par définition "des vérités évidentes", et non des postulats ; non ?

*** Y a-t-il un mon déjà de donné à ce que j'appellerais les "théories directes", donc directement déductibles de la TDE et sans adjonction de postulat supplémentaires ?

*** Autocorrection : Si pas d'adjonction alors pas possible de déduire une nouvelle théorie, seulement la création de modèles différents ; est-ce que je me trompe ?



Jusqu'alors je n'avais pas fait attention à ta distinction entre axiome et postulat. En fait, j'ai une lecture moderne de la géométrie d'Euclide qui me fait prendre ses postulats comme des axiomes. Ce n'est peut-être pas adapté à cette discussion. D'ailleurs je n'ai pas compris ce passage donc je t'expose mon point de vue:
J'ai l'impression que tu considères les postulats comme des formules dont on admet avec prudence la véracité pour voir ce qu'on en déduit, et les axiomes comme des "vérités évidentes".
J'ai plutôt un point de vue formaliste sur la question (en fait je n'ai pas vraiment de point de vue): formellement, postulats et axiomes sont de simples énoncés, formellement, ils sont supposés vrais dans les démonstrations, je ne vois pas la différence.
Maintenant, si tu veux considérer certains axiomes comme évidents et d'autres comme arbitraires tu peux, mais c'est subjectif; qu'est-ce que ça change dans la pratique des mathématiques?

Une définition efficace des mathématiques appliquées serait selon moi "l'application de mathématiques à d'autres domaines" (pas "les mathématiques utilisées dans d'autres domaines", mais bien leur application).
Quand on paye à la caisse on fait des mathématiques appliquées.
Alors la géométrie euclidienne serait de la mathématique "pure", mais qui serait plus souvent appliquée dans la vie de tous les jours que par exemple la géométrie hyperbolique.
Pousser plus loin la distinction, surtout en utilisant ce vocabulaire ("pur" est laudatif), c'est vraiment chercher les ennuis!



Je n'ai pas compris les passages sur l'adjonction d'axiomes. Les axiomes de la théorie des ensembles sont suffisants pour démontrer tout ce qu'on utilise dans la pratique quotidienne des mathématiques.



Citation :
Je comprends je crois la démarche qui consiste à choisir des ensembles plutôt que d'autres mais ce que je veux dire c'est que si un objet est "défini" par un axiome d'une manière qui pour moi est imprécise et est sujet à interprétation, et que d'un autre côté on peut faire appel à une théorie plus profonde et même ultime, alors il me semble que la deuxième façon donne un sens plus profond et plus absolu que dans la première.


C'est possible. Selon ma définition du sens mathématique, il faudrait voir a posteriori pour chaque exemple.



Bon, concernant les détails techniques. Je ne sais pas si tu connais parfaitement la définition d'un espace métrique (je m'imagine moi en première, je ne me posais pas toutes ces questions!).
Un espace métrique c'est un couple (E,d), où E est un ensemble, et d est une application de E\times E dans \mathbb{R}_+ telle que \forall x,y \in E, \ d(x,y) = 0 \Longleftrightarrow x = y et \forall x,y,z \in E, \ d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).
d est appelée une distance, ou une métrique, sur E.

Si je dis: dans un espace métrique, une joréane est un ensemble de points qui contient un point dont la distance à lui même est non nulle, je définis bien un objet sur un espace métrique à partir de la métrique, mais aucun sous ensemble de l'espace ne sera une joréane. Pourquoi cela serait-il différent pour les droites?


Exemple d'espace métrique:
On prend E = \{(\cos(\theta),\sin(\theta)) \ | \ \theta \in \mathbb{R} \} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 = 1\}, la sphère unité comme on l'appelle, et pour d la restriction à E \times E de la distance euclidienne classique, on obtient un espace métrique.
Dans cet espace, tu prends deux points A,B, et tu cherches une droite passant par ces points (c'est-à-dire à laquelle ces points appartiennent).
Cette droite sera \{A,B\}. L'ensemble des droites de cet espace métrique est l'ensemble de ses couples et singletons ainsi que l'ensemble vide. (c'est l'ensemble des intersections des droites du plan avec la sphère unité)
Est-ce que cette structure vérifie les postulats d'Euclide?
En fait la notion de distance seule est assez générale, seulement quelques conditions. On peut définir les droites de cette manière, mais il sera difficile de retrouver des propriétés qu'on pourra qualifier de géométriques. D'où l'utilité d'isoler d'autres propriétés qui confèrent aux droites une consistance de droite.
Après, le fait que certains espaces métriques ne possèdent pas de droites n'est pas nécessairement gênant: on n'est pas obligé de considérer l'idée de droite comme suffisamment souple pour se retrouver partout.


Dans le plan euclidien, ta définition fait de toute partie d'une droite une droite (les droites seraient les réunions de segments situés sur la même "vraie droite").
Si tu fais en sorte de rectifier ça, tu pourras vérifier avec mon exemple si par deux points distincts il passe toujours une droite.

Si tu arrives à formuler une définition de droites du plan qui fait que celles-ci sont les ensembles de la forme \{A + t.\overrightarrow{u} \ | \ t \in \mathbb{R}\}A,u sont un point et un vecteur quelconques, alors effectivement tu retrouveras tous les postulats d'Euclide y-compris le cinquième.

Posté par
Khwartz
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 17-01-14 à 00:59

Merci douzaine pour ta réponse fournie et quasi-instantanée, qui me donne matière à réfléchir et à remettre en question mes idées. Je crains parcontre que la mienne soit loin d'être aussi rapide :/

Remarque: J'ai signalé que mon niveau de maîtrise technique allait jusqu'à celui d'une première mais je n'ai pas dit que j'étais "en" première. (J'entends par "maîtrise technique" en mathématiques le fait de pouvoir résoudre des problèmes sans erreur et facilement.)

Posté par
douzaine
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 15-02-14 à 15:25

Mille excuses; c'est vrai que l'écriture n'était pas celle d'un élève de première!

Posté par
Khwartz
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 15-02-14 à 15:44

Salut douzaine

Lol, si tu me fais des excuses par ce que tu crois, du fait de mon absence de réponse, que j'étais vexé : que neni !

En fait j'ai pris entre temps une tâche dérivative qui me semble plus importante dans l'immédiat puisque plus de monde en dépend.

En fait c'est très amusant de recevoir l'alerte de ton mail quelques minutes après avoir pensé qu'il serait sympa de ma part de te laisser un petit mot pour te faire patienter, en t'expliquant ce qui se passe, et tu m'as devancé !

Bon, pour ne pas perdre le fil de nos idées, et puisque mon autre activité "récréative" est maintenant lancée, peut-être puis-je envisager au moins une fois par mois d'essayer de faire avancer notre débat

Note : un élève de troisième peut aussi s'exprimer aussi confusément que je le fais

Posté par
douzaine
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 15-02-14 à 16:04

Prends ton temps; cette discussion n'est pas censée être une obligation

Posté par
Khwartz
re : Fondements des mathématique/Géométrie(s)/Définition de la d 15-02-14 à 16:24

Lol. T'inquiète ! Je ne ressens aucune obligation autre que le TRÈS GRAND intérêt que je peux avoir pour celle-ci ; c'est juste que vraiment j'ai choisi de fonctionner par ordre de priorité d'utilité immédiate des "réflexions" et autres "travaux de relations extérieures" que je m'efforce de produire, afin de me sentir plus utile.

Le dilemme de l'Intérêt et de l'Utilité.

Bien à toi, et à très bientôt j'espère (je veux dire : "à mon prochain post sur le coeur de la discussion"),
K.



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