Bonjour à tous.
De mon tout petit niveau de Première, et après m'être intéressé à quelques discussions, je souhaiterais que les membres de ce forum critiquent, bien sûr constructivement, les assertions personnelles suivantes, à prendre comme une méthode de raisonnement "à fausse position" (utilisée par les Égyptiens comme méthode de calcul), i.e. des entrées pas nécessairement vraies mais permettant d'obtenir des réactions ("résultats" en calcul) permettant de révéler l'écart éventuel avec la logique ou la pertinence, afin de me permettre de progresser moi-même quelle que soit l'issue de la discussion :
- Les géométries euclidiennes et non euclidiennes (y en a-t-il d'autres svp ?) en elles-mêmes sont des constructions plus ou moins arbitraires (plutôt "moins" pour l'euclidienne) arbitraires qui ne peuvent pleinement se justifier que par l'algère ; i.e. en passant par la géométrie analytique.
- La définition d'une droite par Euclide, est floue ; seule une définition analytique basée sur la notion de DISTANCE, conjecturée comme étant plus fondamentale que celle de droite donc, peut être claire et rigoureuse ; laquelle serait, ou toute formulation équivalente :
"ENSEMBLE DE POINTS TELS QUE SOIENT TROIS POINTS A, B ET C, APPARTENANT À CE MÊME ENSEMBLE, SONT TELS QUE SI DISTANCE(A,B) < DISTANCE(A,C), ET DISTANCE(B,C) < DISTANCE(A,C), ALORS, NÉCESSAIREMENT, DISTANCE(A,B) + DISTANCE(B,C) = DISTANCE(A,C)."
Rires : Si ma deuxième assertion s'avérait cohérente par une chance extraordinaire, je ne doute pas que des esprits plus éduqués que moi dans le domaine, ont dû y penser bien avant moi ! et si c'est erroné, j'espère bien apprendre un maximum de mon erreur ; et n'est-ce pas là le but de la méthode "par fausse position" ?
Respectueusement.
Si je ne suis pas complètement idiot, si la deuxième assertion était "par le plus grand des hasards", juste, cela ne permettait-il pas de "résoudre" le problème qu' équivalence de définitions entre "droites" et "cercles" dans les géométries hyperboliques ? Je veux dire en interdirait l'équivalence, et donc les géométries du même nom ?
salut
il n'est pas besoin de distance pour définir une droite ....
la définition d'une droite n'est pas floue .... je dirai plutôt intrinsèque ...
"deux points définissent une droite" conduit à se poser la question "quand est-ce que trois points définissent la même droite ? et induit la notion d'alignement ....
Bonjour
Ta définition a le défaut de ne pas dire ce qu'est une distance. Figure-toi qu'il existe des distances pour lesquelles on n'a JAMAIS si les trois points sont distincts!
Bonsoir,
Ce sont des questionnements intéressants!
Pour la première affirmation, il faudrait que tu expliques ce que tu entends par "arbitraires", et pourquoi tu juges les constructions axiomatiques des géométries arbitraires et pas leur modélisation analytique.
Je ne crois pas qu'il y ait de définition générale de ce qu'est "une géométrie".
Dans certains cas cela sera une théorie qu'on qualifiera arbitrairement de géométrique parce qu'on peut visualiser ses assertions avec des droites, des angles etc.
Dans d'autres, on parlera de géométrie sur une structure mathématique en tant qu'ensemble d'éléments de cette structure dont on pense qu'ils donnent des informations géométriques sur celle-ci (par exemple la géométrie d'un triangle isocèle peut être renseignée par son groupe de symétries, et on pourrait dire que la géométrie d'un polygone c'est son groupe de symétries même si ça fait léger).
Il y a toutefois une définition de la géométrie que tu trouveras en tapant "conjecture de géométrisation" sur Wikipedia; mais je pense qu'il faut une certaine expérience des mathématiques pour avoir ne serait-ce qu'une idée du lien entre cette définition et ce qu'on imagine qu'est la géométrie.
salut
*** Salut, merci de prendre le temps de me répondre, carpediem.
il n'est pas besoin de distance pour définir une droite ....
*** ben justement, c'est dont je ne suis pas encore convaincu justement :/
la définition d'une droite n'est pas floue .... je dirai plutôt intrinsèque ...
"deux points définissent une droite" conduit à se poser la question "quand est-ce que trois points définissent la même droite ? et induit la notion d'alignement ....
*** à bon, et un bipoint, un couple, une paire, ne sont-ils pas aussi definis par deux points ?
Bonjour
*** Bonjour Camélia, et merci aussi de prendre le temps de me répondre.
Ta définition a le défaut de ne pas dire ce qu'est une distance.
*** ben oui, je l'ai supposée connue et bien sûr la définir me paraît d'à propos. Je la vois comme une des définitions a définir dans l'axiomatique et dont on se servirait pour définir la droite.
*** comment définis-tu une droite en géométrie analytique ?
Figure-toi qu'il existe des distances pour lesquelles on n'a JAMAIS si les trois points sont distincts!
*** ben oui, c'est bien le cas de triplets non alignés, ce qui me semble confirmer mon idée de définition pour la droite puisqu'il semble y avoir équivalence entre la condition où les trois points sont alignés et le fait qu'ils soient sur la même droite...
Bonsoir,
*** Bonsoir, ou bonjour douzaine (selon ton heure d'arrivée ). Merci aussi de prendre le temps de me répondre.
Ce sont des questionnements intéressants!
*** j'espère bien !
Pour la première affirmation, il faudrait que tu expliques ce que tu entends par "arbitraires", et pourquoi tu juges les constructions axiomatiques des géométries arbitraires et pas leur modélisation analytique.
*** en fait, je faisais seulement référence aux Éléments d'Euclide.
*** ce qui me plaît bien, et me paraît moins arbitraires que les Éléments, c'est que la géométrie analytique est basée sur l'algèbre, elle-même basée sur la théorie des ensembles et donc aussi des nombres, et que tout peut se construire alors sur le vide (!) ; je veux dire l'ensemble vide (la base paradoxalement la plus "solide des mathématiques ? ), tout l'édifice mathématique, y compris les points et les droites ; n'est-ce pas vrai ? Ce qui tendrait à démontrer que ces théories sont plus "pures", plus puissantes, que l'axiomatique des Éléments.
Je ne crois pas qu'il y ait de définition générale de ce qu'est "une géométrie".
Dans certains cas cela sera une théorie qu'on qualifiera arbitrairement de géométrique parce qu'on peut visualiser ses assertions avec des droites, des angles etc.
Dans d'autres, on parlera de géométrie sur une structure mathématique en tant qu'ensemble d'éléments de cette structure dont on pense qu'ils donnent des informations géométriques sur celle-ci (par exemple la géométrie d'un triangle isocèle peut être renseignée par son groupe de symétries, et on pourrait dire que la géométrie d'un polygone c'est son groupe de symétries même si ça fait léger).
*** je crois tout à fait comprendre ce que tu veux dire
Il y a toutefois une définition de la géométrie que tu trouveras en tapant "conjecture de géométrisation" sur Wikipedia; mais je pense qu'il faut une certaine expérience des mathématiques pour avoir ne serait-ce qu'une idée du lien entre cette définition et ce qu'on imagine qu'est la géométrie.
*** alors voyons : serais-tu d'accord que l'on puisse affirmer en termes triviaux qu'une géométrie est l'étude de "figures", i.e. d'ensembles de points ayant des relations fixes et déterminées (non fixe ce serait alors de la cinématique) ?
Il est toujours difficile de définir une branche des mathématiques. La géométrie a un historique important dont il faut tenir compte, mais le cadre dans lequel on fait de la géométrie a été grandement élargi depuis "la géométrie des triangles".
Les maths sont connectées de partout, comment savoir si la définition qu'on donne à la géométrie va rendre compte de tout ce qu'elle signifie et signifiera pour nous? Faut-il définir la géométrie par la méthode qu'elle utilise ou les objets qu'elle manipule?
Une solution: parler de géométrie comme tu l'entends pour se comprendre, et définir un concept de géométrie à l'intérieur des mathématique. Cela implique une réduction du cadre d'étude.
Je ne suis pas en mesure de dire si ta définition de la géométrie est satisfaisante, mais elle est assez floue, étant donné qu'une relation ça peut-être pas mal de choses! Enfin on comprend à peu près ce que tu veux dire, rien qu'avec "figures".
Tu peux très bien affirmer que la notion centrale de la géométrie est celle de distance, et que les droites sont les ensembles qui se comportent bien selon ces distances. La question est: ce cadre permet-il de faire des mathématiques intéressantes, sensées et efficaces?
Un point important:
Une théorie axiomatique est censée abstraire les fondements de ce qu'elle prétend étudier. Si cet objet d'étude est défini mathématiquement, alors cette pertinence peut être maximale (il suffit de prendre comme axiomes les définitions des objets). Si cet objet d'étude n'a pas de définition mathématique (exemple: la géométrie), l'enjeu est beaucoup plus grand. Il serait assez osé de dire "ça y est, j'ai trouvé l'essence de la géométrie, c'est ça et ça ne changera jamais".
Le challenge est de formuler des théories qui ont un sens et qui permettent de faire de jolies maths, sans qu'elles soient trop restrictives ou arbitraires, ni trop générales et muettes...
En tout cas, la théorie en elle même ne définit pas; l'axiomatisation de la géométrie euclidienne par Hilbert ne définit ni les points ni les droites ni les plans, la théorie des ensembles ne définit pas les ensembles et on peut très bien s'imaginer qu'un ensemble est une personne et que traduit " est tombé follement amoureux de " sans que cela ne change rien aux théorèmes.
Ce que permettrait l'axiomatisation de la géométrie euclidienne, c'est d'étudier une classe de modèles, c'est-à-dire de structures mathématiques qui permettent d'interpréter les axiomes (par exemple l'axiome de l'arithmétique de Peano est vérifié dans l'ensemble des entiers naturels muni de la structure caractérisant la loi d'addition qu'on connait).
Une théorie ne sanctionne ses modèles que par l'existence de propriétés, elle n'est pas restrictive comme le serait une définition de ce qu'est une droite du plan. Et cela permet de démontrer des résultats puissants comme le fait que toutes les structures qui "vérifient" telle théorie sont "semblables".
Une définition de la droite, c'est une modélisation de la théorie; c'est un exemple d'objet mathématique qui obéit aux lois de la théorie (si cette dernière n'existe pas encore, il y a souvent une idée derrière la définition, et cette idée sera sûrement le germe d'une abstraction). Une modélisation possède souvent des propriétés qui ne sont pas prédites par la théorie, elle est plus riche en quelque sorte, mais moins abstraite.
On a envie d'avoir des modèles pour des théories (sinon, comment être sûr qu'elles ne disent pas n'importe quoi?) et des théories pour des modèles (pour en isoler le sens), les deux points de vue s'enrichissent mutuellement. On pourrait parler de dualité entre axiomatisation et définition.
Par exemple, si tu définis une droite comme un ensemble de points du plan (l'ensemble des couples de réels) qui vérifie ton égalité avec la distance classique, tu cèles à jamais ce qu'est une droite et restreint ton étude de la géométrie à la géométrie plane du plan réel.
Tu pourrais te demander s'il n'y a pas quelque chose de formel et profond dans cette définition qui dépasse en fait les objets qu'elle définit. Tu pourrais alors imaginer une théorie, pour laquelle les objets ne sont pas définis, mais où on donne leurs relations, par exemple, sans préciser ce qu'est le symbole de fonction ni le prédicat ni le symbole , inclure l'axiome ou
serait couramment interprété comme "est un point de" et comme "x est une droite".
Ensuite, tu regardes si tu trouves des modélisations de cette théorie qui n'ont aucun sens et aucune propriété particulière. Si c'est le cas, la généralisation n'était sûrement pas pertinente et peut-être qu'il valait mieux définir une droite comme un ensemble de points du plan vérifiant la propriété, peut-être qu'il manquait des axiomes, peut-être qu'il y en avait en trop. Saisis-tu la différence entre ce que représente
Au sujet de la théorie des ensembles et les Eléments d'Euclide, ce sont deux approches différentes. La première a pour but de donner vie à des objets mathématiques importants; elle permet de définir les structures qui vont servir de modèles à d'autres théories: le plan et ses droites par exemple.
La seconde étudie la portée des axiomes qu'Euclide a choisi pour retrouver les résultats de géométrie.
Ce que tu appelles arbitraire dans les axiomes d'Euclide, a son équivalent dans l'approche du type mise en évidence d'un modèle par la théorie des ensembles: on se place arbitrairement dans des ensembles particuliers parce qu'on sait qu'ils possèdent les propriétés souhaitées.
En ce qui concerne l'aspect technique de ta seconde question, il y a des contestations à formuler: Camélia te fait remarquer que dans certains cadres ta définition ne permettrait l'existence d'aucune droite, parce que les distances sont des objets définis pour d'autres ensembles que le plan.
As-tu vérifié que ta définition satisfaisait l'axiome "par deux points il ne passe pas plus d'une droite"?
Merci beaucoup douzaine d'avoir pris une nouvelle fois le temps de me répondre, et surtout de l'avoir fait d'une manière qui me paraît très pertinente et pleine de potentialités d'enrichissement pour ce qui me concerne. Ça m'a fait tellement du bien qu'en te lisant, une grosse larme, de bonheur je le crois, a roulée sur une de mes joue
Étant donné la consistance (sens trivial = densité ) de ta réponse, je souhaite me donner plus de temps pour te répondre que j'en ai juste là maintenant (désole si jamais ça me prenait plus d'une semaine du fait de mes contraintes de temps :/ ).
Encore une fois, j'apprécie énormément ton précédent post et dirai tout-de-suite que ce n'est pas parce que l'on fixerait la définition d'un objet, d'un modèle, que l'on doit s'interdire de décliner toutes les variations possibles dans les éléments de la définition, générant ainsi toute une "famille" de définitions, donc d'objets ou de modèles, et donc loin de se restreindre nous pouvons me semble-t-il et en principe, nous ouvrir a toute une gamme de théories possibles, sans a priori de pertinence utilitaire (qui sait à l'avance ce qu'une théorie mathématique, même des plus exotique, peut produire comme effet dans le monde concret ?! Les exemples abondent où la liberté créative d'un très jeune mathématicien permit des progrès dans des sciences expérimentales, même si bien plus tard ; n'est-il pas ? ).
Vu à la fois l'étendue et la profondeur de ta réponse, ne serais-tu pas épistémologue, philosophe des mathématiques et/ou logicien à tes heures ? Chère/cher douzaine
PS : Je pense qu'il doit être possible de démontrer que, définissant d'abord la droite analytiquement comme je le faisais, et en définissant la notion de parallélisme de manière ad hoc, le 5 ème postulat d'Euclide deviendrait un théorème, sans pour autant s'interdire les géométries non euclidiennes (je m'expliquerai sur cette idée la prochaine fois mais comme en aurait certainement convenu Jean Cavailles : les mathématiques doivent rester un espace de liberté ou seule la logique (formelle) a le droit de dicter des règles ! ). Bien à toi.
Je suis content que ma réponse te fasse réfléchir. C'est un sujet qui m'intéresse aussi, mais je suis novice. Rien n'empêche une conversation entre novices d'être très profitable!
Prends tout ton temps pour répondre, rien ne presse.
Je voulais éviter de faire une opposition définition = spécialisation VS axiomatisation = abstraction mais c'est vrai que c'est ce qui ressort de mon post.
(d'ailleurs, j'ai fait une erreur, en plus de zapper une fin de phrase, à la fin, c'est plutôt "par deux points distincts il ne passe pas plus d'une droite")
Enfin bref, je voulais dire que la géométrie d'Euclide n'a pas la fonction de définir les droites ni de formaliser toutes les mathématiques, et que lui préférer la géométrie analytique parce qu'elle est fondée sur une solide théorie des ensembles c'est passer à côté de ça, et aussi du travail d'Euclide, le pauvre.
Une petite question au sujet de ta définition d'une droite, quand tu auras du temps: dans quel ensemble ou type d'ensemble sont considérés les points de la droite et quelle condition ou définition doit vérifier la distance?
Il est toujours difficile de définir une branche des mathématiques. La géométrie a un historique important dont il faut tenir compte, mais le cadre dans lequel on fait de la géométrie a été grandement élargi depuis "la géométrie des triangles".
*** Je comprends.
Les maths sont connectées de partout, comment savoir si la définition qu'on donne à la géométrie va rendre compte de tout ce qu'elle signifie et signifiera pour nous?
*** En utilisant la méthode de fausse position : poser la définition et voir ce que cela donne, et en fonction des écarts éventuels, voir s'il vaut mieux modifier la définition ou exclure certaines branches comme étant de la géométrie, en ayant pour critère de choix l'estimation de potentialités en termes d'ouvertures de nouveaux champs de recherche et/ou de simplification des approches existantes, je dirais.
Faut-il définir la géométrie par la méthode qu'elle utilise ou les objets qu'elle manipule?
*** Et bien il peut être intéressant de définir des branches de mathématiques d'abord par les objects et ensuite en sous-classes par la méthode, comme on dit "géométrie" d'abord en rapport avec les objets que sont les figures et ensuite "analytique" qui a plus rapport avec la méthode (encore que ...). Ou l'inverse, ça se discute certainement. Ce qui me paraîtrait d'ailleurs le plus important ici c'est justement de discuter du classement qui me paraît le plus pertinent. Perso je suis plus pour l'aspect logique comme critère ultime que l'aspect historique, car à l'échelle de l'histoire et des générations suivantes, les considérations historiques introduisent des complexités par ses arbitraires qui rendre plus difficile l'apprentissage du domaine et brouille les idées au niveau créatif et de la recherche. Bien qu'une présentation historique ou "génétique" des mathématiques a sont utilité aussi. En fait je crois etre plutôt pour la pluralité des approches et la coexistence de chacune selon le principe du maximum de liberté.
Une solution: parler de géométrie comme tu l'entends pour se comprendre, et définir un concept de géométrie à l'intérieur des mathématique. Cela implique une réduction du cadre d'étude.
*** Oui, peut-être que ça réduirait le champ de la géométrie mais pas nécessairement celui des mathématiques car en définissant mieux ce qui est, on définit mieux aussi ce qui n'est pas, le complètement de ce qui est ; ce qui là aussi peut ouvrir de nouvelles portes ou au moins offrir de meilleurs éclairages, de ce qu'il me semble. Est-ce que la topologie est une géométrie par exemple ? Selon la définition que je proposais : non, car la topologie utilise une notion plus générale que la notion de distance : la notion de "proximité". Et pourtant ! Nos valeureux pairs dans la discussion de Wikipedia sur les branches des mathématiques donne la topologie comme une branche de la géométrie. Cela dit, après avoir étudié un échange sur la pertinence de possibles classifications, je dirais qu'il faut voir ce corps de connaissances que sont les mathématiques comme un objet relativement complexe en "n" dimensions que l'on peut observer sous différents angles pour en révéler telles ou telles structures et imbrications ; une structure évolutive en fonction des travaux validés quasiment en temps réel.
* * * L'erreur toutefois que nos pairs semblent faire, c'est de s'échiner à vouloir faire une classification de type arborescence "bidimensionnelle" alors qu'une classification exhaustive ne peut être que "multidimensionnelle" du fait des nombreux chevauchements et des points de vue d'analyse et de synthèse possibles.
Je ne suis pas en mesure de dire si ta définition de la géométrie est satisfaisante, mais elle est assez floue, étant donné qu'une relation ça peut-être pas mal de choses! Enfin on comprend à peu près ce que tu veux dire, rien qu'avec "figures".
*** Ben faut dire que tu m'as pris un peu au dépourvu sur cette question et je t'ai répondu relativement rapidement. Mais c'est une question qui certainement là-aussi méritrait d'être creusée. Une question plus précise serait je crois : qu'est-ce qu'une "relation géométrique", se basant effectivement dans un premier temps sur l'histoire du domaine et des habitudes prises, les pratiques présentes, pour ensuite en tirer une tendance générale quant à la nature des relations impliquées, et si la limite conceptuelle est floue de déterminer la plus pertinente de ses localisations.
*** Pour l'instant je dirais donc : Une relation qui nécessite l'existence d'une "métrique" quelconque.
Tu peux très bien affirmer que la notion centrale de la géométrie est celle de distance,
*** Oui, la notion d'angles aussi me semble très forte. Mais ainsi pour moi, la topologie ne devrait pas être incluse dans la géométrie car il n'y a plus à proprement parler de concept de "distance" dans celle-ci. Je dirais même que la géométrie pour moi serait un cas particulier de topologie car adjoignant à cette dernière des restrictions, ce qui représente pour moi une démarche méritant particulièrement une discussion, à savoir : est-ce la RESTRICTION d'une théorie à des cas plus particuliers par l'adjonction de conditions, axiomes ou postulats supplémentaires, qui permet de considérer cette même "restriction" comme "INCLUSE", on pourrait dire "hyponyme" de la générale : "l'hyperonyme" ?
et que les droites sont les ensembles qui se comportent bien selon ces distances. La question est: ce cadre permet-il de faire des mathématiques intéressantes, sensées et efficaces?
*** Je suis bien d'accord que c'est là la question qui doit être posée, et de ce qu'il me semble : oui.
Un point important:
Une théorie axiomatique est censée abstraire les fondements de ce qu'elle prétend étudier. Si cet objet d'étude est défini mathématiquement, alors cette pertinence peut être maximale (il suffit de prendre comme axiomes les définitions des objets). Si cet objet d'étude n'a pas de définition mathématique (exemple: la géométrie), l'enjeu est beaucoup plus grand. Il serait assez osé de dire "ça y est, j'ai trouvé l'essence de la géométrie, c'est ça et ça ne changera jamais".
*** Je comprends les nuances précédentes, par contre le dernier point, lui, le paraît non seulement non pertinent mais en plus contre-productif : Qu'une tentative, un postulat ou toute hypothèse soit "osée", n'a rien à voir avec la pertinence intrinsèque, d'autant que si tous ceux qui ont fait progressé la connaissance jusqu'à ce jour n'avaient pas "osé" (fait abstraction de tout le contexte intellectuel de son temps ; voir "Philosophie mathématique" de de Jean Cavailles - Encore lui ! ), nous n'aurions, à mon avis, même pas atteint l'âge de pierre ; tout au contraire c'est celui qui "ose" qui a le plus de chance d'apporter des améliorations significatives, mais bien sûr aussi de se tromper ! Cela dit, comme le disait ce Très Grand Grand Homme de part le coeur et l'esprit, notre feu très cher ami Pierre-Gilles de Gennes : la principale qualité d'un découvreur, ce n'est pas d'avoir raison mais de prendre le risque de se tromper,
d'accepter d'avoir tord, et de beaucoup, plus souvent que les autres ...).
Le challenge est de formuler des théories qui ont un sens et qui permettent de faire de jolies maths, sans qu'elles soient trop restrictives ou arbitraires, ni trop générales et muettes...
*** Je suis bien d'accord, à cela près que je crois que ce qui peut paraître dans un premier temps "restrictif" peut s'avérer libérateur par la suite, notamment si cela permet de se débarrasser de culs de sac et de préciser les concepts.
En tout cas, la théorie en elle même ne définit pas; l'axiomatisation de la géométrie euclidienne par Hilbert ne définit ni les points ni les droites ni les plans, la théorie des ensembles ne définit pas les ensembles et on peut très bien s'imaginer qu'un ensemble est une personne et que x \in y traduit "x est tombé follement amoureux de y" sans que cela ne change rien aux théorèmes.
*** Peut-être, mais tout ce nous avons besoin en mathématiques n'est-il pas de définir les relations entre les objets ? N'est-ce pas essentiellement ces relations qui les définissent, et rien d'autre ? Sauf peut-être pour ce qui serait "l'objet primordial" : le vide mathématique ("ontologique" ?), i.e. dépourvu de tout être particulier ; et encore, ne se définit-il pas lui-même comme le complètement, et la base sine qua non en fait, de tout le reste ?
Ce que permettrait l'axiomatisation de la géométrie euclidienne, c'est d'étudier une classe de modèles, c'est-à-dire de structures mathématiques qui permettent d'interpréter les axiomes (par exemple l'axiome \forall x (x + 0 = x) de l'arithmétique de Peano est vérifié dans l'ensemble des entiers naturels muni de la structure caractérisant la loi d'addition qu'on connait).
Une théorie ne sanctionne ses modèles que par l'existence de propriétés, elle n'est pas restrictive comme le serait une définition de ce qu'est une droite du plan. Et cela permet de démontrer des résultats puissants comme le fait que toutes les structures qui "vérifient" telle théorie sont "semblables".
*** Je comprends.
Une définition de la droite, c'est une modélisation de la théorie; c'est un exemple d'objet mathématique qui obéit aux lois de la théorie (si cette dernière n'existe pas encore, il y a souvent une idée derrière la définition, et cette idée sera sûrement le germe d'une abstraction). Une modélisation possède souvent des propriétés qui ne sont pas prédites par la théorie, elle est plus riche en quelque sorte, mais moins abstraite.
*** OK. Mais es-tu d'accord pour dire que dans le cadre d'Euclide les droites ne sont pas des modèles, et que par contre si la droite est définie grâce à une "métathéorie" la droite devient alors effectivement un modèle de cette théorie ?
*** "Abstrait" pour toi => "moins riche en propriétés, relations et généralisations potentielles ou actuelles" ?
On a envie d'avoir des modèles pour des théories (sinon, comment être sûr qu'elles ne disent pas n'importe quoi?) et des théories pour des modèles (pour en isoler le sens), les deux points de vue s'enrichissent mutuellement. On pourrait parler de dualité entre axiomatisation et définition.
*** Ça me semble intéressant comme point de vue. Un peu comme le va-et-vient que j'apprécie le plus en tant que méthode de recherche et vérification entre l'induction et la déduction
*** "N'importe-quoi" => "existence d'incohérences" ? Tel que je te lis j'ai l'impression que "non", alors que pour moi ce sera nécessairement vrai, et ne devrait l'être qu'à cette condition.
Par exemple, si tu définis une droite comme un ensemble de points du plan (l'ensemble des couples de réels) qui vérifie ton égalité avec la distance classique, tu cèles à jamais ce qu'est une droite et restreint ton étude de la géométrie à la géométrie plane du plan réel.
*** Il me semble bien que oui, mais pas seulement le plan par contre : cela fonctionerait pour tout espace métrique à n dimensions. De plus, d'autres "géométries", tout à fait à proprement parler, peuvent être et ont déjà été construites je crois avec d'autres définitions de la distance que celle classique, mais s'agissant toujours de distances.
Tu pourrais te demander s'il n'y a pas quelque chose de formel et profond dans cette définition qui dépasse en fait les objets qu'elle définit. Tu pourrais alors imaginer une théorie, pour laquelle les objets ne sont pas définis, mais où on donne leurs relations, par exemple, sans préciser ce qu'est le symbole de fonction d ni le prédicat D ni le symbole \in, inclure l'axiome \forall x(D(x) \Longrightarrow \forall (a,b,c) \in x, \ d(a,b) + d(b,c) = d(a,c) ou d(a,c) + d(c,b) = d(a,b)))
\in serait couramment interprété comme "est un point de" et D(x) comme "x est une droite".
Ensuite, tu regardes si tu trouves des modélisations de cette théorie qui n'ont aucun sens
*** Rires. Je m'interroge beaucoup sur ta notion de "sens" (comme tout à l'heure dans ton expression "n'importe-quoi") ; pourrais-tu me préciser ce que tu définirais comme le "sens" en mathématiques dans ce contexte ? Pour moi il n'existe que la notion de "cohérence" en mathématiques. Qu'ensuite cette cohérence semble avoir un parallèle avec la réalité observable est autre chose. Bien sûr, tout dépend certainement si l'on se place dans le cadre des mathématiques "pures" ou des mathématiques "appliquées". Je me plaçais dans le premier. Pour le second, je crois que le sens est tout simplement "l'applicabilité" et la convergence avec la réalité observée. Qu'en penses-tu ?
et aucune propriété particulière. Si c'est le cas, la généralisation n'était sûrement pas pertinente et peut-être qu'il valait mieux définir une droite comme un ensemble de points du plan vérifiant la propriété, peut-être qu'il manquait des axiomes, peut-être qu'il y en avait en trop.
*** Je te suis jusque là, douzaine. Comme suggéré dans mon précédent post, je vois effectivement l'objet mathématique défini par ses relations. D'autre part, je serais en fait pour l'exploration systématique des différentes possibilités de théories et de modèles, ainsi que de l'examen de leur pertinence respective (application je dirais à la fois d'un "principe de liberté maximale" et de systématisation de la recherche). Mais ton principe d'évaluation par généralisation et abstraction plus poussée me paraît des plus intéressant.
Saisis-tu la différence entre ce que représente
*** là, il semble manquer du texte mais peut-être me demandais-tu entre théorie et modèle ?
Au sujet de la théorie des ensembles et les Eléments d'Euclide, ce sont deux approches différentes. La première a pour but de donner vie à des objets mathématiques importants; elle permet de définir les structures qui vont servir de modèles à d'autres théories: le plan et ses droites par exemple.
*** Oui, c'est un peu ça qui m'intrigue. Pour moi on peut "partir" de la TDE et déduire TOUTES les autres mathématiques, dont la géométrie d'Euclide, en ajoutant les postulats adéquats (ici donc ce qui était "axiome" devient en partie "postulat" dans le modèle euclidien) ; ce qui voudrait dire qu'il y a de nombreux espaces de liberté et une combinatoire infinie entre ce qui peut être déduit directement de la TDE et tous les postulats arbitraires que l'on peut adjoindre en cours de route (tout en respectant la condition sine qu'à non de la cohérence, ou tout au moins de la non contradiction), créant toutes "les" mathématiques possibles ; à cela près que la combinatoire peut être encore amplifiée, me semble-t-il par tous les possibilités d'utilisation de logiques différentes, i.e. autres que celles du tiers exclu et de la logique des prédicats du premier ordre (toutefois n'acceptant qu'exclusivement les logiques formalisées - peut-on imaginer une mathématique "non-formelle" ?).
*** Autocorrection : on peut considérer la géométrie euclidienne comme des "mathématiques appliquées" qui s'efforcent donc "de coller au maximum à la réalité observable". Dans ce cadre, les "adjonctions" à la TDE devraient être des "axiomes" à proprement parler, puisque sensées été par définition "des vérités évidentes", et non des postulats ; non ?
*** Y a-t-il un mon déjà de donné à ce que j'appellerais les "théories directes", donc directement déductibles de la TDE et sans adjonction de postulat supplémentaires ?
*** Autocorrection : Si pas d'adjonction allors pas possible de déduire une nouvelle théorie, seulement la création de modèles différents ; est-ce que je me trompe ?
La seconde étudie la portée des axiomes qu'Euclide a choisi pour retrouver les résultats de géométrie.
Ce que tu appelles arbitraire dans les axiomes d'Euclide, a son équivalent dans l'approche du type mise en évidence d'un modèle par la théorie des ensembles: on se place arbitrairement dans des ensembles particuliers parce qu'on sait qu'ils possèdent les propriétés souhaitées.
*** Je comprends je crois la démarche qui consiste à choisir des ensembles plutôt que d'autres mais ce que je veux dire c'est que si un objet est "défini" par un axiome d'une manière qui pour moi est imprécise et est sujet à interprétation, et que d'un autre côté on peut faire appel à une théorie plus profonde et même ultime, alors il me semble que la deuxième façon donne un sens plus profond et plus absolu que dans la première.
En ce qui concerne l'aspect technique de ta seconde question, il y a des contestations à formuler: Camélia te fait remarquer que dans certains cadres ta définition ne permettrait l'existence d'aucune droite, parce que les distances sont des objets définis pour d'autres ensembles que le plan.
*** "D'autres ensembles que le plan", c'est plutôt vague comme indication, ça ne me permet pas trop d'y objecter ! Si maintenant on veut parler d'espaces à n dimensions, la définition me semble toujours tenir la route. Ce qui me paraît bien plus encore intéressant c'est de pouvoir définir le parallélisme, quel que soit le nombre de dimensions de l'espace ... métrique, bien sûr. Bref, dans quel espace métrique n'y aurait-il pas de distance et donc de droite possible, alors qu'un espace métrique est justement défini par sa ... métrique ! Lapalissade n'est-ce pas ?
As-tu vérifié que ta définition satisfaisait l'axiome "par deux points il ne passe pas plus d'une droite"?
*** "Axiome" ou "postulat" ou ... ? Comme suggéré aussi dans mon post interlude, la droite étant définie par, ce que j'aurais tendance à appelé "l'égalité antitriangulaire" (avec la métrique euclidienne : (Somme(xi ; yi)^2)^1/2) et le parallélisme étant défini par la somme des angles par exemple alternes-internes égale à deux droits (tout cela défini analytiquement bien sûr), ALORS il me semble que le cinquième postulat deviendrait un théorème ; qu'en penses-tu ? Cela dit, rien empêche de prendre d'autres métriques et de faire d'autres géométries, juste qu'il ne s'agit plus bien sûr de géométries euclidiennes.
Hola!
Je suis d'accord avec toi sur les quatre premiers points.
Le fait qu'une définition soit restrictive, ce n'est pas péjoratif. Je pense qu'il faut restreindre le cadre d'étude pour pouvoir étudier quelque chose qui n'est pas défini formellement.
Mais il faut garder en tête que l'on a restreint ce cadre d'étude, que la géométrie se trouvera en dehors des espaces métriques, que les mathématiques se trouveront en dehors de la théorie des ensembles.
(en ce qui concerne la topologie, je ne vois vraiment pas comment on peut la considérer comme une branche de la géométrie; même la topologie des espaces uniformes, métriques, voire celle du plan euclidien.)
Merci douzaine pour ta réponse fournie et quasi-instantanée, qui me donne matière à réfléchir et à remettre en question mes idées. Je crains parcontre que la mienne soit loin d'être aussi rapide :/
Remarque: J'ai signalé que mon niveau de maîtrise technique allait jusqu'à celui d'une première mais je n'ai pas dit que j'étais "en" première. (J'entends par "maîtrise technique" en mathématiques le fait de pouvoir résoudre des problèmes sans erreur et facilement.)
Salut douzaine
Lol, si tu me fais des excuses par ce que tu crois, du fait de mon absence de réponse, que j'étais vexé : que neni !
En fait j'ai pris entre temps une tâche dérivative qui me semble plus importante dans l'immédiat puisque plus de monde en dépend.
En fait c'est très amusant de recevoir l'alerte de ton mail quelques minutes après avoir pensé qu'il serait sympa de ma part de te laisser un petit mot pour te faire patienter, en t'expliquant ce qui se passe, et tu m'as devancé !
Bon, pour ne pas perdre le fil de nos idées, et puisque mon autre activité "récréative" est maintenant lancée, peut-être puis-je envisager au moins une fois par mois d'essayer de faire avancer notre débat
Note : un élève de troisième peut aussi s'exprimer aussi confusément que je le fais
Lol. T'inquiète ! Je ne ressens aucune obligation autre que le TRÈS GRAND intérêt que je peux avoir pour celle-ci ; c'est juste que vraiment j'ai choisi de fonctionner par ordre de priorité d'utilité immédiate des "réflexions" et autres "travaux de relations extérieures" que je m'efforce de produire, afin de me sentir plus utile.
Le dilemme de l'Intérêt et de l'Utilité.
Bien à toi, et à très bientôt j'espère (je veux dire : "à mon prochain post sur le coeur de la discussion"),
K.
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