Bonjour Seichan

x⁴ - x²  est le début de x⁴ - x² + 1/4 , forme développée de (x²-1/2)²

Donc x⁴ - x² + 1 = (x²-1/2)² -1/4 +1

Ah d'accord j'ai compris, en fait il faut faire l'identité remarquable ^^ Merci!
Par contre pour le b), je ne vois pas comment faire.. parce que si je fais
x²-1/2=0
x²=-1/2
x=(1/2)
ça me paraît un peu simple donc ça m'étonnerait que ce soit bon ^^

Attention , Seichan ,

x²-1/2 = 0   ( c'est une différence de carrés )

(x + (1/2)) (x - (1/2)) = 0

Donc 2 solutions ...

ah oui donc en fait x= 1/2 ou x=-1/2 ?

Oui , c'est juste , il y a ces 2 solutions

Merci beaucoup )

rebonjour ^^
je suis arrivé un peu plus loin dans le dm mais je bloque encore sur des questions:

Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle ]-l'infini; -1/V2], puis sur [-1/V2;0].

j'ai commencé par faire:
soient u, v sur ]-l'infini;-1/V2]tels que u<v<-1/V2
u²>v²
u²-1/2>v²-1/2
(u²-1/2)²<(v²-1/2)²
(u²-1/2)²+3/4<(v²-1/2)²+3/4
f(u)<f(v)
Donc la je trouve que cest croissant alors que normalement d'apres la courbe, la fonction est décroissante. Ensuite, sur l'autre intervalle, la fonction doit être croissante mais je ne voit pas ce qui peut changer entre les deux études de variation car les deux intervalles sont négatifs...

ensuite, il y a une autre question que je n'arrive pas à répondre:

Dans un repère orthonormé , P est la parabole d'équation y=x². On note A le point de coordonnées (0;1) et M le point de P d'abscisse x
En sachant que AM²= x^4-x²+1, exprimer la distance AM en fonction de f(x) (donc je rappelle f(x)=x^4-x²+1 -->forme développée et f(x)=(x²-1/2)²+3/4-->forme canonique). On note u(x) cette distance.

Donc pour cette question j'ai fais:
AM²=f(x)
AM=Vf(x)
  =racine(x^4-x²+1)
u(x) =x²-x+1
Mais je ne suis pas sur..  

Justifier que u(x) est définie sur et donner la distance minimale de AM.

Là, je ne sais pas comment on peut justifier que cest u est définie sur ni comment aboutir à la distance minimale.

Merci beaucoup d'avance

Bonsoir Seichan

On va étudier le cas u < v < -1/2

Il s'agit de comparer f(u) et f(v)

f(u) = u⁴ - u² + 1
f(v) = v⁴ - v² + 1

Pour la comparaison , on étudie le signe de f(u)-f(v)

f(u)-f(v) = u⁴ - u² + 1 - v⁴ + v² - 1
          = u⁴ - v⁴ - (u²-v²)

          = (u²+v²)(u²-v²) - (u²-v²)
          
          = (u²-v²)[(u²+v²) -1]
    
          = (u+v)(u-v)(u²+v²-1)

Ensuite , on détermine le signe de chaque facteur

(u+v) est ......
(u-v) est ......
u² et v² sont tous deux supérieurs à 1/2 car u et v inférieur à -1/2 , donc (u²+v²-1) est .......

On en conclut que f(u) - f(v) est positif , donc f(u) > f(v) , et f est décroissante sur cette partie du domaine

Bonsoir,
je ne comprend pas pourquoi doit-on trouver le signe de chaque facteur pour trouver le sens de variation?

Pour la question suivante AM = f(x) ( attention , ce n'est pas x²-x+1 )

Pour le domaine de définition , on peut utiliser la forme canonique ( on pourrait aussi regarder la représentation graphique qui montre une fonction f(x) toujours positive )

f(x) = (x²-1/2)²+3/4  est la somme d'un carré et d'un nombre positif , donc f(x) est positif pour tout x . Ainsi , on peut toujours calculer sa racine et u est définie sur tout


La distance minimale sera obtenue quand f(x) est minimal . Utilise la forme canonique pour conclure

Le signe de f(u)-f(v) va indiquer si f(u) est supérieur ou inférieur à f(v)

On a choisi u < v  , alors

Si f(u) < f(v) , la fonction est croissante
Si f(u) > f(v) , la fonction est décroissante

D'accord merci
donc pour l'autre intervalle, il faut aussi faire f(u)-f(v)?

Oui , tu auras un changement au niveau du signe de (u²+v²-1)

D'accord j'ai compris merci!
Par contre pour exprimer la distance AM en fonction de f(x), il suffit de dire que AM=f(x) ?

Oui , on ne peut pas écrire une forme plus simple

D'accord
mais pour le minimum, je viens de voir que pour le trouver, c'est -b/2a
donc là, elle atteint son minimum en x²?

Le minimum de u sera obtenu quand f est minimale , donc quand f(x)=(x²-1/2)²+3/4 est minimale

Cette quantité est minimale pour (x²-1/2)²= 0 , donc quand x²-1/2 = 0 ( équation déjà résolue en b)

Ah merci beaucoup

Voici l'illustration de ton exercice