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Forme d'une application linéaire

Posté par
issanui
11-08-17 à 09:07

Bonjour,
Svp aidez-moi , j'ai du mal avec cet exercice.
a) Montrer que toute application linéaire de R3 dans R est de la forme : f(x,y,z)=ax+by+CZ.
b) Quelle est la forme d'une application linéaire de R3 dans R2 ?
c) De même celle d'une application linéaire de R2 dans R2 ?

J'ai répondu à b) et c) :

b) f(x,y,z)=(ax+by+cz;dx+ey+gz)

c) f(x,y)=(ax+by;cx+dy)
Comment les justifier ?

Posté par
milton
re : Forme d'une application linéaire 11-08-17 à 09:45

Salut
Pour le a)
Prends une base de \mathbb{R}^3 disons celle canonique \mathcal{B}={e_1,e_2,e_3}.
Donc tout vecteur de u=(x,y,z) de \mathbb{R}^3 s'ecrit u=xe_1+ye_2+ze_3.
Maintenant comme f prends ses valeurs dans \mathbb{R}, on va prendre disons que a est la valeur qu'elle prend en e_1 c'est-a-dire
f(e_1)=a. De la meme facon on pose f(e_2)=b et f(e_3)=c.
Maintenant essaie de calculer f(x,y,z)=f(u) en fonction de x,y et z.N'oublie surtout pas dans tes calculs que f est lineaire

Posté par
issanui
re : Forme d'une application linéaire 11-08-17 à 10:49

f(x,y,z)=f(u)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)
=ax+by+cz
\texttt{est-ce bon ?}

Posté par
issanui
re : Forme d'une application linéaire 11-08-17 à 15:51


Pour b)
Considérons la base canonique de R3  \beta=e_1,e_2,e_3, tout vecteur u=(x,y,z) s'écrit sous la forme u=xe_1+ye_2+ze_3.
Puisque que f prend valeur dans R2, posons : f(e_1)=(a,d)
f(e_2)=(b,e)
f(e_3)=(c,g)
De plus f application linéaire donc :

f(x,y,z)=f(xe_1+ye_2+ze_3)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)


=x(a,d)+y(b,e)+z(c,g)=(ax+by+cz;dx+ey+gz)

?

Posté par
issanui
re : Forme d'une application linéaire 12-08-17 à 02:56

Posté par
milton
re : Forme d'une application linéaire 12-08-17 à 22:01

Salut
Oui c'est ca , tu es trop fort, ya pas l'homme pour toi

Posté par
issanui
re : Forme d'une application linéaire 14-08-17 à 00:16

Merci beaucoup milton !

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