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Forme explicite

Posté par
alpha000000
14-07-21 à 15:53

Bonjour,
Je bloqué sur un exercice dont voici l'énoncé :

(un) est la suite définie par u₁ = 1 et, pour tout nEN*, Un+1 = Un= n(n+1)

a. Écrire les cinq premiers termes de la suite (un) sous forme de fraction irréductible.

U1=1
U2=0
U3 = -1/6
U4 = -1/4
U5 = -3/10


b. Conjecturer une expression de u, en fonction de n.
Je ne vois pas de suite logique, je ne comprends comment faire.
c. Valider ou corriger votre conjecture à l'aide d'un rai sonnement par récurrence.

Posté par
malou Webmaster
re : Forme explicite 14-07-21 à 16:00

bonjour
peux-tu corriger ton énoncé s'il te plaît

Posté par
alpha000000
re : Forme explicite 14-07-21 à 16:02

excusez-moi, voici :
(un) est la suite définie par u₁ = 1 et, pour tout nEN*, Un+1 = Un - (1/ n(n+1))

a. Écrire les cinq premiers termes de la suite (un) sous forme de fraction irréductible.

U1=1
U2=0
U3 = -1/6
U4 = -1/4
U5 = -3/10

b. Conjecturer une expression de u, en fonction de n.
Je ne vois pas de suite logique, je ne comprends comment faire.
c. Valider ou corriger votre conjecture à l'aide d'un rai sonnement par récurrence.

Posté par
hekla
re : Forme explicite 14-07-21 à 16:23

Bonjour

Le texte est-il bien u_{n+1}=u_n-\dfrac{1}{n(n+1)}

donc pour n=1 \ u_2=1-\dfrac{1}{1\times2}=1-\dfrac{1}{2}\not=0

Posté par
alpha000000
re : Forme explicite 14-07-21 à 16:26

petite faute d'inattention, mais le texte est bien ce que vous proposez.

Posté par
hekla
re : Forme explicite 14-07-21 à 16:29

Comme u_2 est faux les autres aussi

 n=2\ u_3=u_2-\dfrac{1}{2\times 3}

Posté par
alpha000000
re : Forme explicite 14-07-21 à 16:42

J'ai donc modifié, et ma conjecture est : Un = 1/n.

c) Soit Pn "Un = 1/n, n E N*" démontrons Pn par récurrence :

1/1 = 1 = U1 Pn est initialisé.

Supposons qu'il existe un entier naturel non nul k tel que Pk : "Uk = 1/k"

Uk+1 = \frac{1}{k} - \frac{1}{k(k+1)} = \frac{(k+1)-1}{k(k+1)} = \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k+1}

Or d'après l'hypothèse de récurrence : Uk = 1/k donc Uk+1 = 1/ (k+1)

Pk est donc héréditaire, donc pour tout entier non nul n,  Pn est vrai, soit Un = 1/n.

Posté par
hekla
re : Forme explicite 14-07-21 à 16:50

D'accord pour la conjoncture

u_{k+1}=\dfrac{1}{k+1} d'accord

On a montré que la proposition est vraie pour k=1 et
que, si elle est vraie pour n=k alors elle est vraie aussi pour n=k+1,
par conséquent, la proposition est vraie pour tout n \in \N_*

Posté par
alpha000000
re : Forme explicite 14-07-21 à 17:03

Citation :
On a montré que la proposition est vraie pour k=1 et
que, si elle est vraie pour n=k alors elle est vraie aussi pour n=k+1,
par conséquent, la proposition est vraie pour tout n \in \N_*


Ceci étant la conclusion ?

Posté par
hekla
re : Forme explicite 14-07-21 à 17:07

Oui  c'est bien ce que l'on voulait montrer
quel que soit n\in \N_*,\ u_n=\dfrac{1}{n}

Posté par
alpha000000
re : Forme explicite 14-07-21 à 17:11

très bien, merci beaucoup

Posté par
hekla
re : Forme explicite 14-07-21 à 17:17

Elle me paraissait plus explicite que votre conclusion

De rien



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