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Forme quadratique
Bonjour,
Le mois dernier, je n'ai pas réussi à répondre à la question 2. de l'exercice suivant.
Je m'étais entraînre sur ce genre d'exercice, mais là, j'étais perdu !
Comment répondre (si possible rapidement) à cette question ?
Exercice 2. On considère la forme quadratique suivante sur R6 :
q(x1,..., x6) = 2x1x2 + 2x3x4 + 2x5x6.
1. Ecrire la matrice B associée à q, déterminer son rang et son noyau.
2. Ecrire q comme somme de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes.
salut carpediem,
Ta réponse sous-entend que le rang de q est 6 et que le noyau de q est nul.
C'est bien ça ?
q(1, 0, 1, 0, 1, 0) = 0
Donc le noyau de q n'est pas nul et le rang de q n'est pas 6. Exact ?
Pour avoir le noyau il te faut trouver f bilinéaire telle que q(x) = f(x,x) .
Le noyau cherché est { x 
E | 
y , f(x,y) = 0 } .
Si j'applique la formule proposée par carpediem, je crois que je vais aboutir à une signature de rang 6, donc à conclure que le rang de q est 6, or ce n'est pas le cas.
Quelqu'un pourrait-il me donner une solution détaillée à la question 2 .
Merci d'avance .
Bonjour !
L'existence d'un vecteur tel que
ne donne pas un vecteur du noyau :
est seulement un vecteur isotrope.
Si tu trouves des carrés de formes linéaires indépendantes le rang est 6 et le noyau de dimension 0.
Bonjour !
Je reprends l'exercice depuis le début.
Pour la question 1 :
B =
On voit que le rang de B est 6, donc le rang de q est 6 et le noyau de q est nul.
La décomposition de q par la méthode de Gauss doit donc donner une somme de carrées de 6 formes linéaires linéairements indépendantes.
La formule proposée par carpediem à chacun des 3 termes de q permet d'obtenir la décomposition cherchée.
Juste ?
ha merde je croyais que j'avais posté ... ce que etniopal a posté à 23h48 ... je ne comprends pas ...
il ne me semble pas que la matrice de B associée à q soit ce que tu proposes mais plutôt :
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
le noyau de cette forme bilinéaire est {0}
et ce que je t'ai proposé donne effectivement la réponse
Oui carpediem, tu as raison, je me suis trompé sur la matrice B.
Les 2 questions suivantes sont:
3. Déterminer la signature de q.
4. Déterminer un sous-espace isotrope maximal. Quelle est sa dimension ?
Pour la question 3 :
Comme (a+b)² et (a-b)² sont positifs , je trouve que la signature de q est (3,3) donc q est bien de rang 6.
Pour la question 4, je ne sais pas faire car je ne connais pas la définition d'un sous-espace isotrope maximal.
si (e_i) désigne ""la"" base canonique tu peux remarquer que q(e_i) = 0 pour 1 =< i =< 6 ...
plus généralement si u = (a, 0, b, 0, c, 0) alors q(u) = 0
donc les sous-espaces isotropes maximaux sont de dimension 3 ...
ce me semble-t-il ...
Soit, mais par quels 3 vecteurs non-colinéaires un sous-espace isotrope maximal de dimension 3 peut-il être déterminé ?
u = (1, 0, 0, 0, 0, 0)
v = (0, 0, 1, 0, 0, 0)
w = (0, 0, 0, 0, 1, 0)
q(au + bv + cw) = 0 pour tout a, b et c ...
Bonjour carpediem !
Merci beaucoup pour ta réponse que j'ai bien comprise.
Du coup, il reste les deux questions suivantes que tu m'aideras à résoudre, j'espère :
5. Pour tout premier impair p calculer le discriminant de q sur |Fp.
6. Sur |F3 déterminer des coordonnées z1, ... ,z6 en fonction des xi et 
|F3 telles que q s'écrit sous la forme z12 + ... + z52 + z62.
Bonjour carpediem,
En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes ...
Je ne comprends pas ce que signifie le mot "discriminant" dans le contexte de cet exercice.
Pardon, j'ai trouvé:
Le discriminant d'une forme quadratique dans une base B est le déterminant de la matrice associée à la forme quadratique dans la base B.
Bonjour,
Merci pour cette indication.
Je vais réviser la notion de modulo et répondre ensuite.
Mais j'ai une autre question: que signifie la notation |Fp ? et notamment la let
tre |F dans cette notation ?
-1 = p - 1 [p] ...
Donc pour tout premier impair p, le discriminant de q sur |Fp est : p - 1 [p].
Exact ?
Bonjour,
6. q(x1, ... , x6) = 1/2 (x1 + x2)² + 1/2 (x3 + x4)² + 1/2 (x5 + x6)² - 1/2 (x1 - x2)² - 1/2 (x3 - x4)² - 1/2 (x5 - x6)²;
Montrons que q peut s'écrire sous la forme
z1² + ... + z5² + z6².
D'après la question 5, sur |F3, on a :
-1 = 3 - 1 [3]
d'où - 1 [3] = 2 = -1
donc -1 = 3 - 1 [3] = 3 - 2 = 1
on en déduit: 1/2 = - 1/2 = 1 sur |F3.
Posons alors :
z1 = x1 + x2
z2 = x3 + x4
z3 = x5 + x6
z4 = x1 - x2
z5 = x3 - x4
z6 = x5 - x6
et choisissons = 1.
On obtient bien sur |F3 la forme de q cherchée.
Est-ce exact ?
Bonjour scoatarin,
Je reviens à la façon de résolution de la question 1)
1) Écrire la matrice B associée à q, déterminer son rang et son noyau.
Déterminons la forme polaire:
On trouve:
Le rang de la matrice est 6
Bonjour Razes,
Merci pour cette formalisation de la réponse à la question 1.
Je ne suis pas du tout sûr de l'exactitude de ma réponse à la question 6.
Merci de bien vouloir vérifier ma réponse à cette question et m'indiquer les erreurs éventuelles que j'ai commises.
4) Déterminer un sous-espace isotrope maximal. Quelle est sa dimension ?
Un vecteur de
est isotrope pour la forme quadratique
si
.
Donc, il nous faut la condition suivante:
On peut facilement vérifier que la famille de vecteurs suivante est une base libre et isotrope, donc le S.E.V. engendré par cette base est dimension . qui correspond à la dimension de E.V.
, donc il est maximal.
Excellent Razes, mais s'agit-il d'une condition nécessaire et suffisante ou uniquement suffisante, ce qui suffit car l'énoncé demande seulement un S.E.V ?
On te demande:
4. Déterminer un sous-espace isotrope maximal. Quelle est sa dimension ?
Donc, 1, 2, 3, 4, ... vecteurs n'est pas suffisant.
Correction:
5. Pour tout premier impair p calculer le discriminant de q sur |Fp.
-1 = p - 1 [p] ...
6) Sur déterminer des coordonnées
en fonction des
et
telles que
s'écrit sous la forme
.
Là, on est dans partie "résidus quadratique", généralement la notation est utilisée sous la forme suivante pour déterminer un nombre premier
:
Razes : en rapport à ton post de 16h37 :
évidemment les vecteurs que tu proposes sont isotropes ...
mais si on considère alors v n'est pas isotrope ...
Bonjour;
Razes : en rapport à ton post de 16h37 :
évidemment les vecteurs que tu proposes sont isotropes ...
mais si on considère
@carpediem
Merci, Tu as raison, donc le S.E.V. est de dimension maximal 3.
Donc il y'a plusieurs bases possibles: On peut choisir une base parmi les vecteurs colonnes de notre matrice
ok .. on est donc d'accord ... avec moi-même 
(voir à 15h58) ... où je donnais un exemple de ce qui se passait mais n'avais pas effectivement généralisé et prouvé rigoureusement la chose ...
ok .. on est donc d'accord ... avec moi-même
(voir à 15h58) ... où je donnais un exemple de ce qui se passait mais n'avais pas effectivement généralisé et prouvé rigoureusement la chose ...C'est le plus important que tu soit d'accord avec toi même mais si d'autres le sont aussi ça nous conforte.
Merci à tous les deux pour votre aide précieuse.
Serait-possible de me guider pour terminer l'exercice car vous n'avez pas répondu à mon dernier message.
Sur |F3 on a 2 = -1 donc 1/2 = -1/1 = -1.
Exact ?
Bonjour carpediem,
q(x1, ... , x6) = 1/2 (x1 + x2)² + 1/2 (x3 + x4)² + 1/2 (x5 + x6)² - 1/2 (x1 - x2)² - 1/2 (x3 - x4)² - 1/2 (x5 - x6)².
Comme dans [F3, on a 1/2 = 2, on en déduit:
q(x1, ... , x6) = 2 (x1 + x2)² + 2 (x3 + x4)² + 2 (x5 + x6)² - 2 (x1 - x2)² - 2 (x3 - x4)² - 2 (x5 - x6)².
Mais , à partir de là, je ne vois pas comment arriver à l'expression demandée.
moi non plus ... et à mon avis il faut oublier complètement cette décomposition et trouver autre chose ...
Effectivement, si on permute les lignes de la matrice B, on peut obtenir une matrice C= I6 qui conserve l'espace vectoriel associé à la forme quadratique q.
si on note (z1, ... , z6) les coordonnées des vecteurs de base de q, alors q s'écrit:
q(z1, ... , z6) = z1² + ... + z5² + z6² en choisissant = 1 et en posant :
z1 = x2
z2 = x1
z3 = x4
z4 = x3
z5 = x6
z6 = x5 .
CQFD sauf erreur 
Bonjour à tous ,
Une dernière tentative de demande d'aide pour la question 6.
De toute façon je remercie tous ceux qui m'ont aidé à résoudre cet exercice jusqu'à présent.
Bonjour !
Ta "permutation" de lignes me semble mal partie.
Quand on change de bases le discriminant est multiplié par le carré du déterminant de la matrice de passage.
Comme 1 est le seul carré non nul dans le corps il en résulte que le discriminant ne change pas quand on change de bases.
Puisque ce discriminant vaut (ou
) dans la base canonique il faudrait donc prendre
.
J'ai un peu cherché sans avoir de solution ...
Bonjour luzak,
Merci beaucoup pour ta réponse.
On va s'arrêter là pour cet exercice.
Peut-être que l'énoncé de cette question est faux, ce qui ne m'étonnerai pas vu le nombre de fois ou il a été avéré que des énoncés sont faux en L2 maths à l'université UPMC.
Si le j'obtiens le corrigé cet exercice d' examen cette année ( on a le droit de rêver ! ),
je posterai un message.
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