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Forme quadratique + définition

Posté par
fusionfroide 09-05-08 à 22:10

lu'

Si on me demande de donner UNE définition d'une forme quadratique, que dois-je écrire ?

En effet, j'ai ces deux définitions :

*** Une forme quadratique sur un \mathbb{R}-espace vectoriel V de dimension n est une application V->\mathbb{R} vérifiant :

\forall \{e_1,...,e_n\} base de V, il existe des coefficients a_{ij} tels que : q(x_1e_1+...+x_ne_n)=\Bigsum_{1\le i\le j\le n}a_{ij}x_ix_j

*** Une forme quadratique de E est toute application q : E->\mathbb{R} telle que :

-->\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x \in E, q(\lambda x)=\lambda^2q(x)
--> l'application b:=(x,y)->\frac{1}{2}[q(x+y)-q(x)-q(y)] est une FBS

Merci

Posté par
robby3re : Forme quadratique + définition 09-05-08 à 22:13

Salut
moi je prefere la deuxieme
mais bon...
Bonne soirée

Posté par
ottore : Forme quadratique + définition 09-05-08 à 22:13

Tu donnes celle que tu veux mais la seconde ne fait pas appel à une quelconque notion de dimension.

Posté par
fusionfroidere : Forme quadratique + définition 09-05-08 à 22:16



Merci

Au fait, dans la première, pourquoi suffit-il de vérifier la relation dans une seule base de V

Posté par
ottore : Forme quadratique + définition 09-05-08 à 22:24

Si tu changes de bases tu changes les coefficients.

En fait ce que la première définition dit c'est qu'une forme quadratique est un polynôme homogène du second degré.

Si tu changes de base tu changes les coefficients mais ça reste un polynôme homogène du second degré.

De mémoire si je ne dis pas de bétise on écrit ca matriciellement

tX.Q.X

et si on change de base j'imagine cela s'écrit
tXQ'X

qui reste un polynôme homogène du second degré en les composantes de X.

Posté par
fusionfroidere : Forme quadratique + définition 09-05-08 à 22:26

D'accord merci otto ^^

Posté par
soucoure : Forme quadratique + définition 10-05-08 à 15:11

Pour chercher la petite bête, on peut dire que la forme quadratique peut être identiquement nulle.

Posté par
ottore : Forme quadratique + définition 10-05-08 à 17:05

Mais ça change quoi ?


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