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Forme récurrente à explicite

Posté par
FerreSucre 05-01-20 à 17:22

Bonjour je m'intéresse à cette suite :
U_{n+1} = \frac{4U_n + 2}{2U_n - 3}U_0 = 0
J'ai vue que : (On pose Vn)
V_n = \frac{Un - a}{Un - b}
Avec a et b solution de l'équation,
x = \frac{4x + 2}{2x - 3}
On trouve a et b :
a = \frac{7-\sqrt{65}}{4}
b = \frac{7+\sqrt{65}}{4}
On cherche la raison q tel que
qV_n = V_{n+1}
J'épargne les calculs avec les racines bref j'ai fais \frac{V_1}{V_o} et après j'ai pas vérifier mais si on voulais on calculait V_{n+1} et on trouve V_{n+1} = qV_n
Et donc j'ai trouvé q :
q = \frac{-33-\sqrt{65}}{32}
Et donc :
V_n = \frac{-57+7\sqrt{65}}{8}* \frac{-33-\sqrt{65}}{32}^{n}
Et via l'équation de Vn on trouve :
U_n = \frac{bV_n - a}{Vn - 1}
Et donc :

U_n = \frac{\frac{7+\sqrt{65}}{4}* \frac{-57+7\sqrt{65}}{8}* (\frac{-33-\sqrt{65}}{32})^{n} - \frac{7-\sqrt{65}}{4}}{(\frac{-57+7\sqrt{65}}{8}*( \frac{-33-\sqrt{65}}{32})^{n} -1)}

J'ai pas chercher à simplifier... bref
J'ai du mal à comprendre pourquoi a et b tel que les solutions de f(x) = x donne une suite geo. Y'a t'il une démonstration ? Merci !

Posté par
FerreSucrere : Forme récurrente à explicite 05-01-20 à 17:28

Je veux juste savoir comment connaître a et b tel que Vn+1 est Geo sans savoir que a et b sont les solutions de l'équation x = f(x) j'ai essayé vite fait detrouver mais pas convaincant...

Posté par
lafol Moderateurre : Forme récurrente à explicite 05-01-20 à 17:44

Bonjour
c'est justement parce que a et b vérifient l'équation x = \frac{4x + 2}{2x - 3} que ça marche (tu peux faire les calculs en laissant a et b, en utilisant a = \frac{4a + 2}{2a - 3} et b = \frac{4b + 2}{2b - 3} , tu verras que q = \dfrac{2b-3}{2a-3} )

Posté par
FerreSucrere : Forme récurrente à explicite 05-01-20 à 19:25

Je suis tombé exactement sur ça q = ....
Mais ça nous aide pas trop si ?

Posté par
FerreSucrere : Forme récurrente à explicite 05-01-20 à 19:27

Si on sort a de q=...
On a, a = 4a+2/2a-3 ?

Posté par
FerreSucrere : Forme récurrente à explicite 05-01-20 à 19:45

Parce que notre équation de q c'est que q = ... pour que vn soit geo ?

Posté par
carpediemre : Forme récurrente à explicite 05-01-20 à 20:11

salut

Citation :
J'ai du mal à comprendre pourquoi a et b tel que les solutions de f(x) = x donne une suite geo. Y'a t'il une démonstration ? Merci !
oui ...

Citation :
On cherche la raison q tel que qV_n = V_{n+1}
ouais mais ça c'est parce qu'on connait le résultat ...

pars de
Citation :
J'ai vue que : (On pose Vn) V_n = \frac{Un - a}{Un - b}


exprime u(n) en fonction de v(n) et u(n + 1) en fonction de v(n + 1) et remplace dans U_{n+1} = \dfrac{4U_n + 2}{2U_n - 3}

Posté par
FerreSucrere : Forme récurrente à explicite 05-01-20 à 21:03

Je vois ok


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