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formes linéaires et hyperplans
Bonjour, je suis étudiante en math sup et j'ai quelques difficultés avec ce chapitre, j'ai donc trouvé cet exercice qui correspond exactement à ce que je dois travailler mais je voudrait une correction pour savoir si je suis au point avant mon prochain devoir. Voici l'énoncé :
1. On note B = (e1,....en) une base de V. On définit pour tout i€[1..n], ei*(ej) = dij où dij est le symbole de Kronecker.
(a) Pourqui ei* est-elle bien définie? Comment peut-on résumer l'action de ei* sur un vecteur de V?
(b) Mmontrer que (e1*,....,en*) est une famille libre de V*.
(c) Mmontrer que (e1*,....,en*) est une famille génératrice de V* (on dit que c'est la base duale de B). que peut-on en déduire?
(d) Soit g € V* telle que g = lambda1e1*+...+lambdanen*, où lambda1,...,lambdan € R. Determiner L = Mat B'1
(e) Soit x € V* et X € M n,1(R) la matrice colonne de ses coordonnées dans la base B. Comment calculer g(x) è l'aide des matrices L et X?
2. (a) Soit g € V*. Montrer que g=0, soit Ker (g) est un hyperplan de V.
(b) Soit h un hyperplan de V. Mmontrer qu'il existe une forme linéaire g telle que H = Ker(g)
(c) Soient g, g' € V* , non nulles. Mmontrer que g et g' forment une famille liée ssi Ker(g) = Ker(g').
(d) On suppose n>= 2. Soient g, g'€V* formant une famille libre. Mmontrer que Ker(g) inter Ker (g') est un s.e.v. de V de dimension n-2.
J'ai réussi à montrer la première partie mais la deuxième me pose beaucoup de problèmes. Pour le 2.a) je ne vois pas comment montrer la réciproque. J'ai aussi du mal à savoir à quoi correspond exactement la forme linéaire Ker(g).
Si vous pouviez me donner quelques indices qui pourraient m'aider à continuer.
Merci d'avance.
g est une forme linéaire donc elle est linéaire de E dans K (K est le corps R ou C souvent).
g(E) est donc un sous -espace vectoriel de K , or K est un K espace de dimension 1 .
Donc soit g(E) est de dimension 0 mézalor g(E)=0 et g est nulle, soit g(E) est de dimension 1 mézalor Im g = g(E)=K g est surjective.
Tu sais en plus que dim Ker g + dim Im g = dim E
or si g non nulle Dim Im g = 1 vient d'être fait
d'où dim Kerg = dim E - 1 ce qui veut dire que Kerg est un hyperplan (si tu es en dimension finie ?)
lolo
2 b) si H est un hyperplan (c'est quoi ta définition d'hyperplan j'en connais 5 différentes faux voir celle de ton cours ?)
pour moi ça veut dire il existe D droite supplémentaire donc E = H + D (somme directe) d'où pour tout x de E il existe un unique h dans H et d dans D tel que x = h + d
or D = K e où e vecteur non nul fixé de D donc
ça se lit " pour tout x de E il existe un unique h dans H et a dans K tel que x = h + ae " Tu définis g par g(x)= a , tu vérifie que ça définit bien une forme linéaire et bien sûr ker g = H .
lolo
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