c'est -6(x-1)(x-1)+6

Bonjour,

Où ça, une forme quadratique ?

en faite c q(x,y)=8xy+2y^2 mais comme x+y=3(condition) on obtient ce que j'ai écris ci  dessus .En  faite mon exercice consiste a montrer que f(x,y)=xyy admet un maximum relatif strict sur M={(x,y) ]0,+[ ]0,+[,x+y=3},le point en question est (1,2), la hessienne vaut 0 et 4 sur la 1 ère lignes et 4 2 sur la seconde.Donc la forme quadratique associe a cette matrice est 8 xy +2yy si la signature est (0,n) on a bien un maximum, c'est pour cela que je demande la signature.

Ca ne va pas du tout.
Déjà, pour commencer, si tu veux étudier sur la droite avec x>0, y>0, il suffit par exemple de remplacer x par y-3 et d'étudier la fonction sur l'intervalle ]0,3[

plutôt 3-y que y-3, bien sûr !

La fonction est décroissante de ]0,2] et croissante de [2,3[  et 2 est un extremum,mais je ne vois pas l'intérêt de cette étude,il ne permet pas de montrer que (1,2) est un maximum strict.Pour être plus clair j'ai la solution de l'exercice sauf que  je ne la comprend pas.Voilà comment le prof raisonne:"La hessienne est indéfinie.Mais ce qui compte c'est la restriction a l'espace vectoriel tangent a M(M={(x,y) x et y strictement positif,x+y=3}.Cet espace est engendre par le vecteur (1,-1) et (1,-1)hessF(1,-1)=-6.Donc la restriction de hessienne de F a l'espace tangent M est définie negative.donc (1,2) est un Max." Je ne pourquoi l'espace est engendre par (1,-1).  

C'est l'exemple typique du marteau-pilon pour écraser une mouche !

Vraiment, tu ne vois pas que le fait que la fonction (3-y)y^2 a son maximum (égal à 4) pour y=2 sur l'intervalle ]0,3[ veut exactement dire que la fonction xy^2 a son maximum (égal à 4) pour (x,y)=(1,2) sur l'intervalle de la droite x+y=3 compris entre les points (3,0) et (0,3) ? Réfléchis un peu !

Ok merci cette méthode est plus simple, mais comprenez vous la méthode que j'ai décris avant?

Oui. Mais le -6 n'a absolument rien à voir avec une signature (0,6) ! Simplement, comme c'est négatif, ceci revient à dire que la dérivée seconde est négative et donc qu'on est bien en présence d'un maximum. Le (1,-1) est simplement le vecteur directeur de la droite x+y=3 sur laquelle on se promène.
Mais, je le répète encore une fois, c'est vraiment assez idiot de faire comme ça pour chercher le maximum dans ce cas. Enfin, ça montre que le marteau-pilon retrouve le même résultat que celui qu'on obtient de manière tout à fait élémentaire!

oui je suis totalement d'accord avec vous, votre méthode est plus simple, c'était juste pour comprendre,Merci